杨氏矩阵

杨氏矩阵

引入

杨氏矩阵（Young tableau），又名杨表，是一种常用于表示论和舒伯特演算中的组合对象。

杨表是一种特殊的矩阵。它便于对称群和一般线性群的群表示和性质研究。杨表由剑桥大学数学家阿尔弗雷德·杨（Alfred Young）于 1900 年首次提出，于 1903 年被德国数学家弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius）应用于对称群的研究。

定义

杨图

杨图（Young diagram）是一个有限的单元格集合，其行左对齐排列，长度单调减。如果令 \(\lambda_i\) 表示第 \(i\) 行的行宽，那么就能得到总点数 \(n\) 的一个拆分。由此我们得到了杨图的数学定义：给定正整数 \(n\)，一个 \(k\) 行的杨图 \(\{\lambda_k\}\) 满足 \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_k > 0 \land \sum\limits_{i = 1}^k \lambda_i = n\)。如果将该杨图转置，即取出每列的列高，得到 \(\{\lambda^\prime_{k^\prime}\}\)，称之为 \(\lambda\) 的「共轭分拆」，或「转置分拆」。

杨表

杨表（Young tableau）是将一个某个集合（通常是全序集）填入杨图得到的，信息学中的应用通常是填入整数。若填入数字同列严格递增，同行非严格递增，则称之为半标准杨表；若同列和同行均严格递增，则称之为标准杨表。

斜杨图/表

若拆分 \(\lambda, \mu\) 满足 \(\forall i, \mu_i \le \lambda_i\) ，则称 \(\mu \subseteq \lambda\)。称满足 \(\mu \subseteq \lambda\) 的 \(\lambda/\mu\) 为斜杨图，表现为 \(\lambda\) 生成的杨图去掉 \(\mu\) 生成的杨图所得图形。同样可以定义斜杨表、标准斜杨表、半标准斜杨表。

钩长

对于杨图上的点 \(u(i, j)\) 定义钩长 \(h_u = \lambda_i - j + \lambda^\prime_j - i + 1\) 即 \(|\{u\} \cup \{(i, k)|k > j\} \cup \{(k, j) | k > i\}|\)（\(u\) 右边和下面的点的集合）。

应用

杨表常用于在组合学、表示理论和代数几何中，在 OI 中常考察杨表钩长公式。

钩长公式

记 \(\pi_\lambda\) 为大小为 \(n\) 的、由 \(\{\lambda\}\) 生成的杨图，\(\dim_{\pi_\lambda}\) 为在 \(\pi_\lambda\) 填入 \(1, \dots, n\) 形成的杨表个数，有：

\[\dim_{\pi_\lambda} = \dfrac{n!}{\prod\limits_{u \in \pi_\lambda} h_u} \]

斜杨表钩长公式

活跃点与兴奋图

在 \(\pi_\lambda\) 的子集 \(D\) 中，若对于点 \(u(i, j)\)，满足 \((i + 1, j), (i, j + 1), (i + 1, j + 1) \in D\) 则称 \(u \in D\) 是活跃的，称由 \(u\) 到 \((i + 1, j + 1)\) 的替换为兴奋的移动（\(D^\prime \gets D - \{(i, j)\} + \{(i + 1, j + 1)\}\)）。

定义满足以下条件的图为兴奋图：

• \(\pi_\mu\) 是兴奋图；
• 一个兴奋图进行兴奋的移动后形成图是兴奋图。

记 \(\epsilon(\lambda/\mu)\) 为所有的兴奋图集合。

Naruse 公式

记 \(\pi_{\lambda/\mu}\) 为大小为 \(n\) 的、由 \(\lambda/\mu\) 生成的斜杨图，有：

\[\dim_{\pi_{\lambda/\mu}} = n!\sum\limits_{D \in \epsilon(\lambda/\mu)}\prod\limits_{u \in \lambda/D}\dfrac{1}{h(u)} \]

特殊图

对于宽度为 \(1\) 的斜杨图，\(\lambda / D\) 等价于 \(\lambda\) 中由左下角走到右上角的路径集合。例题：CF1776N Count Permutations。

注

证明先咕着……