LG4381 [IOI2008] Island 题解

LG4381 [IOI2008] Island

给定一个基环树森林，求每棵基环树的直径长度和。直径是基环树上最长的一条简单路径。题目保证树边的方向构成了一颗内向树。

题解

先简单说一下为什么是一颗内向树，因为题目是给每个点一个与之相邻的点，即点对 \((u,v)\)，而且不会出现 \((v,u)\)。首先 \(n\) 个点 \(n\) 条边是一个基环树（森林），其次环上的点一定是互相指的，不然不能成环，然后环外的点一定是指向环的方向的，不然树不能联通。

把基环树拆成多个树，每个环上的点都是一颗树的树根，对这些树分别求其直径和到根最远的点的距离。这个过程可以树形 DP 得到。定义 \(f_i\) 为 \(i\) 到其子树内最深点的距离，\(g_i\) 为 \(i\) 子树的直径。

\[f_u\gets f_v+w\\ g_u\gets \max\{f_u+f_v+w,g_v\} \]

然后我们考虑环上两个点 \(u,v\) 怎么组合，断环为链，定义 \(dis(u,v)\) 为链上两点的距离，\(sum\) 为链长，那么答案即为

\[\max\{f_u+f_v+dis(u,v),f_u+f_v+sum-dis(u,v),g_u,g_v\} \]

直接这样计算是 \(O(n^2)\) 的。

我们可以随机找一个点作为链的起点断开，然后顺着扫环，不断更新 \(sum\)（即一个可以不存下来的前缀和）。

维护 \(maxv1=\max f_u-sum_{u-1}\) 和 \(maxv2=\max f_u+sum_{u-1}\)。

假如一个新点 \(v\) 的时候，显然 \(f_v+maxv_1+sum_v=f_u+f_v+sum_v-sum_{u-1}=f_u+f_v+dis(u,v)\)，就是答案的一部分。

同样 \(f_v+maxv_2-sum_v=f_u+f_v-(sum_v-sum_{u-1})=f_u+f_v-dis(u,v)\)，这个答案最后加上 \(sum\) 也是答案的一部分。

这样我们就可以 \(O(n)\) 地统计答案了。

实现

可以使用拓扑排序，入度为 \(0\) 的点就是叶子节点，从叶子节点晚上做树形 DP，显然环上的点在执行完拓扑之后入度均为 \(1\)，然后就看可以愉快的进行上面的过程了，其他细节见代码。

const int N=1000006;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;//ans2必须赋值成-INF!
int n,tar[N],wei[N],ind[N];
ll f[N],g[N];
queue<int>q;
inline ll solve(int u){
	int sen=u;
	ll ans1=g[u],ans2=-INF,maxv1=f[u],maxv2=f[u];
	ll sum=wei[u];ind[u]=0,u=tar[u];
	while(u!=sen){
		ans1=max(ans1,g[u]);
		ans1=max(ans1,f[u]+sum+maxv1);
		ans2=max(ans2,f[u]-sum+maxv2);
		maxv1=max(maxv1,f[u]-sum);
		maxv2=max(maxv2,f[u]+sum);
		sum+=wei[u];ind[u]=0;u=tar[u];
	}
	return max(ans1,ans2+sum);
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		tar[i]=read(),wei[i]=read();
		++ind[tar[i]];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!ind[i])q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front(),v=tar[u],w=wei[u];q.pop();
		ll dis=f[u]+w;
		g[v]=max(max(g[v],g[u]),f[v]+dis);
		f[v]=max(f[v],dis);
		if(!--ind[v])q.push(v);
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(ind[i])ans+=solve(i);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

大概是人生中的第一道基环树题？（不是