0x52~0x54
0x52~0x54
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0x52 背包问题
a.[√] coins
sol：
这是一道多重背包模板题，但是常规的二进制优化过不了。单调队列优化是可以的。
这里需要一个更加简单的方法。
注意到本题只要关心是否存在，所以可以考虑设\(f[x]\)表示x能否被表示出来。
那么对于硬币i，考虑如果存在\(f[x-a[i]]=1\),那么\(f[x]=1\)。
但是由于有硬币数量的限定，所以可以用一个\(cnt[x]\)来记录构成x只是需要多少枚硬币i。
只要不超过限定，就可以继续转移。
code：
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define IL inline
#define LL long long
#define DB double
using namespace std;
const int N=101;
const int M=1e5+1;
int n,m,ans,a[N],c[N],f[M],cnt[M];
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n&&m) {
RG int i,j;
for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&c[i]);
memset(f,0,sizeof(f));
for(i=1,ans=0,f[0]=1;i<=n;++i) {
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(j=a[i];j<=m;++j) {
if(!f[j]&&f[j-a[i]]&&cnt[j-a[i]]<c[i])
f[j]=1,cnt[j]=cnt[j-a[i]]+1,++ans;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
0x53 区间DP
b.[√]Polygon
sol:
首先任选一条边断掉之后，可以发现是一个比较明显的区间DP。
那么分别令\(f[l,r],g[l,r]\)表示把从l到r合并后的最大值和最小值。
对于最大值而言，由于当操作符为乘号时需要注意两个很小的负数相乘可能会更大，所以转移应该为：
\[f[i][j]=max_{i≤k＜j}\lbrace f[i][k]+f[k+1][j]\rbrace \\
f[i][j]=max_{i≤k＜j}\lbrace max(f[i][k]*f[k+1][j],g[i][k]*g[k+1][j])\rbrace\ 操作为乘
\]
对于最小值而言，由于当操作符为乘号时需要注意一正一负相乘可能会更小，所以转移应为：
\[g[i][j]=min_{i≤k＜j}\lbrace g[i][k]+g[k+1][j]\rbrace\\
g[i][j]=min_{i≤k＜j}\lbrace g[i][k]*g[k+1][j],g[i][k]*f[k+1][j],f[i][k]*g[k+1][j]\rbrace\ 操作为乘
\]
code：
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define IL inline
#define int long long
#define DB double
using namespace std;
const int N=111;
const int inf=0x3f3f3f3f;
char inp[3];
int n,ans,a[N],op[N],f[N][N],g[N][N];
signed main()
{
RG int i,j,k;
scanf("%lld",&n);
for(i=1;i<=n<<1;++i) {
if(i&1) {
scanf("%s",inp);
if(inp[0]=='t') op[i+1>>1]=1;
else op[i+1>>1]=2;
}
else scanf("%lld",&a[i>>1]);
}
for(i=1;i<=n;++i) a[n+i]=a[i],op[n+i]=op[i];
memset(f,0xcf,sizeof(f));
memset(g,0x3f,sizeof(g));
for(i=1;i<=n<<1;++i) f[i][i]=g[i][i]=a[i];
for(i=n<<1;i>=1;--i)
for(j=i+1;j<=i+n-1&&j<=n<<1;++j)
for(k=i;k<j;++k) {
if(op[k+1]==1) {
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k+1][j]);
}
else {
f[i][j]=max(f[i][j],max(f[i][k]*f[k+1][j],g[i][k]*g[k+1][j]));
g[i][j]=min(g[i][j],min(g[i][k]*g[k+1][j],min(g[i][k]*f[k+1][j],f[i][k]*g[k+1][j])));
}
}
for(i=1,ans=-inf;i<=n;++i)
ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
printf("%lld\n",ans);
for(i=1;i<=n;++i)
if(f[i][i+n-1]==ans) printf("%lld ",i);
return putchar('\n'),0;
}
c.[√]金字塔
sol:
首先要考虑到区间DP，令\(f[l,r]\)表示从l到r的序列能够组成的树的方案数。
那么容易想到把子树分成两部分然后相乘得到结果。
但是这样会算重复，因为把一种划分方案前后调转顺序是有可能得到另一种划分方案的，而实际上这二者一致。
怎样保证不会出现重复的呢？
考虑到 如果存在一颗子树发生了变化，那么这棵树必然是一颗新的树。
所以，不妨把l～r分成l+1～k-1作为一颗子树，k～r作为树的剩余部分（一个根+若干子树），其中k与l颜色相同。
这种情况下，枚举出的那棵子树不断变大，不会重复，把二者相乘即可。
所以，转移方程为：
\[f[l,r]=f[l+1,r-1]+\sum_{l+2≤k≤r-2,k和l同色}{f[l+1,k-1]*f[k,r]}\ (l和r同色)
\]
code:
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define IL inline
#define LL long long
#define DB double
using namespace std;
IL int gi() {
RG int x=0,w=0; char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') w=1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
return w?-x:x;
}
const int mod=1e9;
char s[303];
LL n,f[303][303];
LL solve(int l,int r) {
if(l>r||s[l]!=s[r]) return 0;
if(l==r) return f[l][r]=1;
if(f[l][r]!=-1) return f[l][r];
f[l][r]=solve(l+1,r-1);
RG int i;
for(i=l+2;i<=r-2;++i)
if(s[l]==s[i]) f[l][r]=(f[l][r]+solve(l+1,i-1)*solve(i,r)%mod)%mod;
return f[l][r];
}
int main()
{
scanf("%s",s+1);
n=1ll*strlen(s+1);
memset(f,-1,sizeof(f));
printf("%lld\n",solve(1,n));
return 0;
}
0x54 树形DP
d.[√]选课
sol:
注意到所有的课程构成森林，不方便转移。
所以不妨另设一个0号节点，使其成为一颗有根树。
那么令\(f[x,v]\)表示到了x号课程，总共选v个的最优学分。
考虑一次枚举x的每一个儿子y，那么当前的最优值必然由y子树中的一部分和之前扫过的子树中的一部分构成。
可以发现，实际上这两个值都可以说是已知的，一部分是\(f[y,p]\)，另一部分是\(f[x,v-p]\)。（y子树中选p门课）
所以转移方程应为：
\[f[x,v]=max_{y\in son[x],v≥p≥0}\lbrace {f[x,v-p]+f[y,p]} \rbrace
\]
但是由于当前课程x（除0号节点外）是必选的，所以应该有：\(f[x,v]=f[x][v-1]+a[x]，v\in(0,m]\) 。
code：
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define IL inline
#define LL long long
#define DB double
using namespace std;
IL int gi() {
RG int x=0,w=0; char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') w=1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
return w?-x:x;
}
const int N=303;
int n,m,tot,a[N],f[N][N],head[N];
struct EDGE{int next,to;}e[N<<1];
IL void make(int x,int y) {e[++tot]=(EDGE){head[x],y},head[x]=tot;}
void DP(int x) {
RG int i,j,k,y;
for(i=head[x];i;i=e[i].next) {
DP(y=e[i].to);
for(j=m;j>=0;--j) //必须倒序
for(k=0;k<=j;++k) //此处似乎正倒序都可以
f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]);
}
if(!x) return;
for(i=m;i>0;--i) f[x][i]=f[x][i-1]+a[x];
}
int main()
{
RG int i,x;
n=gi(),m=gi();
for(i=1;i<=n;++i) x=gi(),a[i]=gi(),make(x,i);
DP(0);
printf("%d\n",f[0][m]);
return 0;
}
e.[√]Accumulation Degree
sol:
简单的sol以前写过就不再写了。
