Codeforces Round 1033 (Div. 2) and CodeNite 2025 C. Divine Tree

C. Divine Tree

思路： 构造题，每个人方法都不一定一样。我的方法思路如下：

1. 首先确定上下界：下届为 n，即全 1；上届为前 n 项和，等效于以 n 为根，连接其余点；

2. 然后可以确定根结点一定是最大的那个 d(v)，这个也好想。比如

   \[13 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 \]

   那就是根节点 4 连了 {1,2,3}，然后 5 和 3 连。换作其他比 4 小的点作根，4 不可能出现；

3. 若任意一个上下界范围内的数 x 有解，那么x+1也一定有解。证明：

   \[x = 1\cdot cnt_1 + 2\cdot cnt_2 + 3\cdot cnt_3 + \dots + n\cdot cnt_n \]

   由于没到上届，那么一定有一个 i，使得 $$cnt_i < cnt_{i-1},$$那么只需要

   \[cnt_i+1,\quad cnt_{i-1}-1 \]

   其他项不变，就可以得到 x+1 了，如

   \[14 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4，就是把其中一个 3 换成 4，那么总和就多了 1； \]

4. 具体构造时，对每个位置 i 从 1 遍历到 n：
   假设后续全放 1，则剩余量为r = m - (n - i + 1)，如果 \(1 \le r+1 \le n\)，就把这个位置直接放 \(r+1\)，后续全 1，否则这个位置放 i，并做 \(m -= i\)。
   将每个位置的值记录到 \(a[i]\)；

5. 完成后，根 rt 之前的所有点都和 rt 相连； rt 之后的位置 i 则和 \(a[i]\) 相连，即可得到所需树。
   

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 200;

ll a[maxn];

inline ll read() {
    ll f = 1, x = 0; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x*10 + (ch - '0'); ch = getchar(); }
    return x * f;
}

void sol() {
    ll n = read(), k = read();
    ll l = n, r = (n+1)*n/2;
    if (k < l || k > r) {
        cout << -1 << "\n";
        return;
    }
    ll rt = 1;
    bool flag = false;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (flag) {
            a[i] = 1;
            continue;
        }
        ll x = n - i + 1;
        if (k - x >= 0 && k - x <= n - 1 && 1 + (k - x) <= i) {
            rt = max(rt, 1LL + (k - x));
            a[i] = 1 + (k - x);
            flag = true;
        } else {
            rt = i;
            a[i] = i;
            k -= i;
        }
    }
    cout << rt << "\n";
    for (int i = 1; i < rt; i++) {
        cout << rt << " " << i << "\n";
    }
    for (int i = rt + 1; i <= n; i++) {
        if (a[i] == 1) cout << i << " 1\n";
        else cout << i << " " << a[i] << "\n";
    }
}

int main() {
    int T; cin >> T;
    while (T--) sol();
    return 0;
}