简单期望题杂烩
\(From\space Here：\) \(xzy\) 的概率期望题单
大部分内容参考题解区。
一点结论和 \(Trick\)（ ？
- 某事件发生概率为 \(p\) ，则该事件首次发生的期望次数为 \(\frac{1}{p}\) 。这里是证明。
\(\color{#52C41A}\text{这里大概都是绿题}\)
P5104 红包发红包
简单来说，第 \(k\) 个人期望获得的钱为他可以得到的钱的平均值。即第 \(k\) 个人期望拿到的钱为 \(\frac{w}{2^k}\)。
P6154 游走
\(ans=\frac{len}{cnt}\)，其中 \(lenth\) 为所有路径长度的总和，\(cnt\) 为路径总数，记忆化搜索实现。
P1297 [国家集训队]单选错位
\[ans=\frac{\min(a[i],a[i-1])}{a[i]\times a[i-1]}=\frac{1}{\max(a[i],a[i-1])}
\]
SP1026 FAVDICE - Favorite Dice
经典的赠券收集问题。
- \(Solution\space 1:\)
\[\begin{aligned}
f[i]&=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\\
&=f[i+1]+\frac{n}{n-i}
\end{aligned}
\]
- \(Solution\space 2:\)
得到新数字的概率为 \(\frac{n-i+1}{n}\)， 期望得到新数字次数为 \(\frac{n}{n-i+1}\) ，则有 \(ans=\sum_{i=1}^n\frac{n}{n-i+1}=\sum_{i=1}^n\frac{n}{i}\)
三倍经验：P1291 \(\&\) UVA10288，注意毒瘤格式。
变式：P4550 收集邮票
\(f[i]\) 表示现在已经收集到了 \(i\) 张邮票，要收集完剩下邮票的期望次数。
\(g[i]\) 表示现在已经收集到了 \(i\) 张邮票，要收集完剩下邮票的期望价格。
\[\begin{aligned}
g[i]&=\frac{i}{n}\times (f[i]+g[i]+1)
+\frac{n-i}{n}\times(f[i+1]+g[i+1]+1)\\
&=\frac{i}{n-i}\times f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}
\end{aligned}
\]
CF1042E Vasya and Magic Matrix
这次很接近正解了。
\[\begin{aligned}
f_i&=\frac{1}{tot}\sum_{a_i>a_j}(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+f_j;\\
&=\frac{1}{tot}\sum_{a_i>a_j}x_i^2+x_j^2-2x_ix_j+y_i^2+y_j^2-2y_iy_j+f_j\\
&=\frac{1}{tot}\sum_{a_i>a_j}x_i^2+x_j^2+y_i^2+y_j^2-2(x_ix_j+y_iy_j)
\end{aligned}
\]
P4316 绿豆蛙的归宿
\[\begin{aligned}
逆：f[u]&=\frac{\sum_{i=1}^{outd[u]}(f[to]+w[i])}{outd[u]}\\
正：f[to]&=\frac{\sum_{i=1}^{outd[to]}(f[u]+w[i]\times p[i]])}{outd[u]}
\end{aligned}
\]
通过拓扑排序转移。
P3802 小魔女帕琪
看看这里。
\[ ans=7!\times \frac{a_1}{N}\times \frac{a_2}{N-1}\times \frac{a_3}{N-2}\times \frac{a_4}{N-3}\times \frac{a_5}{N-4}\times \frac{a_6}{N-5}\times a_7
\]
\(\color{#3498DB}\text{这里大概都是蓝题}\)
P1850 [NOIP2016 提高组] 换教室
\(Floyd\space + \space dp\)
写了几题但是不想动了，遂咕咕。
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