DP优化方法

斜率优化

这个东西并不难

就是求形如 \(kx\pm b\) 的最大值或者最小值，一般来说，设整个柿子为 \(b\) ，通过移项来处理就可以了，取 \(\min/\max\) 分别对应下 / 上凸壳，找值相当于求固定斜率对于这个凸壳的切点

现在着重精力来看一下这个斜率的柿子

\[\frac{y_i-y_j}{x_i-x_j} < \frac{y_k-y_i}{x_k-x_i} \]

对于DP 而言，这里要求加入一些点，同时进行查询，这里分为三种情况来讨论：

1. 加入的点的横坐标单调，而且直线的斜率单调

如果加入的顺序和直线在凸壳上切点的增长方向相同，就可以直接单调队列来做

2. 横坐标单调，斜率不单调

这里也不难，只要二分一下单调栈就可以了，上面的方向要是冲突也可以这么做

3. 横坐标不单调

这就麻烦了

横坐标要是不单调，那就变成了个动态凸壳，主流的有四种做法，这里介绍 CDQ

网上一直没有找到较好的解释博客，这里推荐去这题的题解区

我们发现，如果把整个修改和查询抽象成一个序列，那可以把序列的左半边，的答案先算出来，然后根据答案建出凸壳，然后去更新右半边的答案

这就是 CDQ 的基本流程了，不难写，复杂度两只 \(\log\)

同时，李超线段树虽然不太可以维护凸包，但只要进行一点变化，就可以来维护这类斜率优化问题，复杂度和CDQ 一样，可以参考这个

决策单调性

这里分为几种：

1. 1D 单调性

形如 \(f_i=\min/\max\{f[j-1]\}+val(i,j)\)

这种东西要是有单调性，那也没有我已知的方法做到线性，就能二分枚举中间点的决策点来处理

当然，二分队列也是可以的，接下来介绍一下这种方法

在队列中，维护一个三元组 \([s,l,r]\) ，代表扫到当前，这个状态在区间 \([l,r]\) 是最佳的方案，在队列里，元素按照决策顺序从小到大排列

假设当前已经到了位置 \(i\)

将队头的超时的决策去掉

来到队尾，先更新队尾节点的左端点，然后比较一下，如果这个点在其所有的决策空间内都被这个点吊打，那就把这个点给去掉

然后，二分出队尾元素与当前元素的决策交界点，将当前元素压入

一般来说，最好先清空无用决策，再进行二分，不然容易让自己的二分假掉，不过好像也没影响

假如价值的计算是一个初等函数，可以借助一些数学方法做到线性

1. 2D 非区间 DP

形如 \(f_{i,j}=\min/\max\{f_{i-1,k-1}\}+val(i,k)\)

这个就是标准的四边形不等式理论了，对于这个转移，自然是有单调性的，具体来说 \(M_{i,j}\in [M_{i-1,j}\,,M_{i,j+1}]\)

细节来说，枚举第二维的时候，需要倒序来做

3. 2D 区间 DP

这个就是四边形不等式了，直接看 OI-Wiki 就可以了