AutoCAD 中凸度（bulge）的概念

一，什么是 AutoCAD 中的凸度

凸度（bulge）是AutoCAD 中一个非常重要和强大的数学工具，它可以以非常简洁的方式表示一段弧的信息。已知平面内具体两点坐标，以及一个凸度值，即可唯一确定一段弧。

多段线中，凸度的数值放置在线段的两个端点中的前一个端点上。

二，凸度的具体定义

bulge 的具体值定义为这段弧所对应的弧度（角度）的1/4的正切值，即

bulge = tan(θ/4) , 其中 θ 是弧本身在其所在圆中所对应的弧度（角度）

bulge 值可以为正，也可以为负。约定当 bulge 为正时表示这段弧是逆时针弧，当 bulge 为负时表示这段弧为顺时针弧。

根据定义，不难看出，已知起点 A，终点 B，以及其间的凸度值，可以唯一确定一段弧线。

并且，可以推出，bulge 有以下特性：

bulge 的值为 0，线段 AB 为一段直线。

bulge 的绝对值小于 1 时，弧线段 AB 为劣弧；bulge 的绝对值大于 1 时，弧线段 AB 为优弧；

三，根据凸度值计算弧线的顺逆、优劣、圆心、半径

根据弧的角度和顺逆，即可计算凸度值。

反过来，可根据凸度值，得到弧线的弧度（角度），进而结合弧线段起点、终点坐标，计算出弧线的圆心和半径。

根据三角函数，可得求 弧半径 的公式为：

R = (|AB|/2) / sin(θ/2)

根据凸度定义，可直接得知弧的顺逆，根据凸度是否大于 1 可得知弧线是优劣。

最后，已知弧线段起点、终点坐标，顺逆，以及弧半径，计算弧的圆心坐标

已知起点S、终点E 和半径 R，可以先确定两个可能的圆心 C1(CX1, CY1), C2(CX2, CY2)：

   思路：
            ∵ 圆心一定落在弦的垂直平分线上 (连接圆上任意两点的线段叫做弦)
            ∴ C1C2 垂直于 SE
            ∵ 由余弦公式可求出 ∠a = ∠b = acos(|SD|/R) = acos(|SE|/2/R)
               由向量的角度定义，可求出向量 ↑SE 的角度（这里命该角度为 ∠c）
            ∴ 可求出向量 ↑SC1 的角度 ∠m = ∠c + ∠a
                          向量 ↑SC2 的角度 ∠n = ∠c - ∠a
            ∴ 可求出
                  CX1 = S.x + cos(∠m) * R
                  CY1 = S.y + sin(∠m) * R
                  CX2 = S.x + cos(∠n) * R
                  CY2 = S.y + sin(∠n) * R

具体计算：

    令 length = |SE|，起点坐标为 (startX, startY), 终点坐标为 (endX, endY)

    则 a = acos(min(1.0, length/ 2.0 / R));                     //防止浮点误差导致出现 1.00000000xx 而计算失败
       c = atan2(endY - startY, endX - startX);

    进一步，可得两圆心坐标 (CX1, CY1), (CX2, CY2)
    CX1 = startX + cos(c + a) * R;
    CY1 = startY + sin(c + a) * R;
    CX2 = startX + cos(c - a) * R;
    CY2 = startY + sin(c - a) * R;

其中，(CX1, CY1) 位于 SE 向量方向的左侧，(CX2, CY2) 位于 SE 向量方向的右侧

最后，只需要根据弧的顺逆和优劣，即可确定圆心坐标。

如果是 “顺优|逆劣” 则圆心为 (CX1, CY1)，“顺劣|逆优” 则圆心为 (CX2, CY2)。

计算 圆心, 半径总结：

已知起点 (startX, startY), 终点(endX, endY) 和凸度 bulge, 求圆心 (CX,CY)

1. θ = atan(|bulge|)*4

2. AB = √((startX-endX)²+(startY-endY)²))

3. R = (AB/2) / sin(θ/2)

4. a = acos(min(1.0, AB / 2 / R)); //具体编程实现上，防止浮点误差导致出现 1.00000000xx 而计算失败

c = atan2(endY - startY, endX - startX);

5. CX1 = startX + cos(c + a) * R;
    CY1 = startY + sin(c + a) * R;
    CX2 = startX + cos(c - a) * R;
    CY2 = startY + sin(c - a) * R;

6. bulge < -1 或 0 < bulge < 1 时，CX=CX1; CY=CY1

bulge > 1 或 0 > bulge > -1 时，CX=CX2; CY=CY2