OFDM-CP抗多径
OFDM调制体系中，一种比较流行的做法是采用CP（循环前缀）来对抗多径效应。本文从卷积的角度出发来理解CP的作用
1. 数学模型
1.1 线性卷积-多径
如果将发射机和接收机简化为离散采样序列的处理，n时刻的接收序列\(y(n)\)由所有历史时刻的发送序列\(x(k)\)以及信道延迟响应\(h(n-k)\)构成。
通过一个多径信道的系统的经典表达是线性卷积
\[\begin{align*}
&y=h*x \\
&\quad\\
&y(n) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}{x(k)h(n-k)}
\end{align*}
\]
卷积表达式中的k取值范围要考虑因果系统，应当是小于等于n的。
1.2 矩阵形式表达
取2径信道为例。发送数据序列\(x\)长度为\(N=5\)，信道径数为\(L=2\)，根据卷积原理，接收长度为\(L+N-1=6\)。不考虑噪声因素，卷积矩阵H为Toeplitz矩阵
\[\left[\matrix{y_0\\y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5}\right] =
\left[\matrix
{h_0\\
h_1&h_0\\
\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&\quad&h_1
}
\right]
\left[\matrix
{x_0\\x_1\\x_2\\x_3\\x_4}
\right]
\]
取3径信道为例。发送数据\(x\)长度为\(N=5\)，信道径数为\(L=3\)，根据卷积原理，接收长度为\(L+N-1=7\)。不考虑噪声因素，卷积矩阵H为Toeplitz矩阵
\[\left[\matrix{y_0\\y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5\\y_6}\right] =
\left[\matrix
{h_0\\h_1&h_0\\
h_2&h_1&h_0\\
\quad&h_2&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_2&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&h_2&h_1\\
\quad&\quad&\quad&\quad&h_2\\}
\right]
\left[\matrix
{x_0\\x_1\\x_2\\x_3\\x_4}
\right]
\]
添加CP是发端对与发送序列的一种操作，将\(x_4\)复制到原先的\(x_0\)处（单样点CP），则原系统可以等效表达为
2-ray Case
\[\left[\begin{array}{}
y_0\\y_1\\\vdots\\y_5
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{c|cccc}
h_0\\
h_1&h_0\\
\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&\quad&h_1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{}
\underline{x_4}\\x_1\\x_2\\x_3\\x_4
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{ccc|c}
\quad&\quad&\quad&h_0\\
h_0&\quad&\quad&h_1\\
h_1&h_0\\
\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&h_1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{}
x_1\\x_2\\x_3\\\underline{x_4}
\end{array}\right]
\]
3-ray Case
\[\left[\begin{array}{}
y_0\\y_1\\\vdots\\y_6
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{c|cccc}
h_0\\h_1&h_0\\
h_2&h_1&h_0\\
\quad&h_2&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_2&h_1&h_0\\
\quad&\quad&\quad&h_2&h_1\\
\quad&\quad&\quad&\quad&h_2\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{}
\underline{x_4}\\x_1\\x_2\\x_3\\x_4
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{ccc|c}
\quad&\quad&\quad&h_0\\
h_0&\quad&\quad&h_1\\
h_1&h_0&\quad&h_2\\
h_2&h_1&h_0\\
\quad&h_2&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_2&h_1\\
\quad&\quad&\quad&h_2\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{}
x_1\\x_2\\x_3\\\underline{x_4}
\end{array}\right]
\]
由于2-ray案例中，CP可以容纳2径扩展带来多径效应。取循环窗口4，此时2径信道矩阵由于循环前缀和加窗，从Toeplitz矩阵变成了一个循环矩阵。
\[\left[\begin{array}{}
y_1\\y_2\\y_3\\y_4
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{ccc|c}
h_0&\quad&\quad&h_1\\
h_1&h_0\\
\quad&h_1&h_0\\
\quad&\quad&h_1&h_0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{}
x_1\\x_2\\x_3\\\underline{x_4}
\end{array}\right]
\]
而在3径情况下，由于本例中采用的单点CP（循环复制\(x_4\)一个样点）不足以覆盖其多径，所以无法构造循环矩阵。
CP特性总结
循环矩阵的特性是可以采用傅里叶矩阵进行对角化，其特征值（对角元素）即为信道频域响应序列，特征向量为傅里叶变换向量。相关性质证明可参考文献
Gray, Robert M. Toeplitz and circulant matrices: A review. now publishers inc, 2006
循环矩阵可表达为傅里叶矩阵分解
\[H_{circ} = F^H\Lambda F
\]
由于发送符号经过IFFT构造成了\(F^HX\)的形式，在接收端做一次FFT匹配
\[Y = F\cdot H_{circ} \cdot (F^HX)=\Lambda \cdot X
\]
采用了CP构造的OFDM系统方案是非常巧妙的。由于对角信道矩阵等效与无载波间干扰（这里没有考虑信道特性的恶化带来的影响，比如多普勒等），而CP又在时域躲过了多径，所以信道均衡策略可以实现得相对简单。
- + 降低同步要求
- + 在FFT窗口内收集了多径的能量（类似于Rake接收机）
- + 降低了均衡的计算复杂度（对角矩阵采用标量乘除法）
- -
速率（带宽）开销
- -
能量开销
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