【BZOJ2749】【HAOI2012】外星人[欧拉函数]

外星人

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Description

　　

Input

 　　

Output

　　输出test行，每行一个整数，表示答案。

Sample Input

　　1
　　2
　　2 2
　　3 1

Sample Output

　　3

　　

HINT

　　Test<=50 Pi<=10^5,1<=Q1<=10^9

Main idea

　　给定一个数，用Πp[i]^q[i](p<=10^5,q<=10^9)的形式表示，问最少需要对这个数字x进行几次x=Φ(x)操作使得x=1。

Solution

　　这显然是一道数论题。
　　首先想到了只有Φ(2)=1，所以最后答案必然需要转成带2的形式，我们先考虑一个数字，由欧拉函数的推导公式Φ(Πp[i]^q[i])=Π(p[i]-1)*p[i]^(q[i]-1)可以发现每次求Φ会消去一个质因数2，并且产生若干个2（产生的2是有上限的）。
　　这句话是什么意思呢？
　　我们举个例子：讨论一个偶数180=2^2 * 3^2 * 5，Φ(180)=2^1 * (3-1)*3 * (5-1)=48，这里产生了3个2，消去了1个2。
　　所以我们只要求出产生了几个2即可（由于除了Φ(2)以外的数都是偶数，所以任意奇数只要经过一遍求Φ就可以变为偶数来处理，次数+1），因为每次只能消去一个1，所以答案就应该是这个数分解出的2的个数。
　　知道欧拉函数是一个积性函数，并且我们现在求的显然是一个完全积性函数，由于这个性质，求分解出几个2可以使用线性筛来实现，对于每一项p[i]^q[i]分解出的个数就是(p[i]分解出的个数*q[i])，答案就是Σ(每一项分解出的个数)。

Code

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;  
        
const int ONE=100001;
 
int T;
int f[ONE],p[ONE],tot,phi[ONE];
int x,y,m,PD;
long long Ans;
 
int get()
{
        int res,Q=1;    char c;
        while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
        if(Q) res=c-48; 
        while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
        res=res*10+c-48; 
        return res*Q; 
}
 
void Get_f(int n)
{
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(!f[i]) 
            {   
                p[++tot]=i;
                phi[i]=phi[i-1];
            }
             
            for(int j=1;j<=tot;j++)
            {
                if(i*p[j]>n) break;
                f[i*p[j]]=1;
                phi[i*p[j]]=phi[i]+phi[p[j]];
                if(i%p[j]==0) break;
            }
        }
}
 
int main()
{
        Get_f(ONE-1);
        T=get();
        while(T--)
        {
            m=get();
            Ans=PD=0; 
            for(int i=1;i<=m;i++)
            {
                x=get();    y=get(); 
                Ans+=(long long)phi[x]*y;
                if(!PD && x==2) PD=1;
            }
            printf("%lld\n",Ans+(!PD));
        }
}