题解：ABC394F - Alkane

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题目描述

给定一棵包含 \(N\) 个顶点的无向树 \(T\)。顶点编号为 \(1, 2, \ldots, N\)，第 \(i\) 条边连接顶点 \(A_i\) 和顶点 \(B_i\)。

定义满足以下两个条件的图为烷烃：

• 该图是一棵无向树
• 所有顶点的度数为 \(1\) 或 \(4\)，且至少存在一个度数为 \(4\) 的顶点

请判断 \(T\) 中是否存在满足烷烃定义的子图。若存在，求此类子图的顶点数的最大值；否则输出 \(-1\)。

输入格式

输入通过标准输入按以下格式给出：

\(N\)
\(A_1\) \(B_1\)
\(A_2\) \(B_2\)
\(\vdots\)
\(A_{N-1}\) \(B_{N-1}\)

输出格式

若存在满足烷烃定义的子图，输出其顶点数的最大值；否则输出 \(-1\)。

输入输出样例 #1

输入 #1

9
1 2
2 3
3 4
4 5
2 6
2 7
3 8
3 9

输出 #1

8

输入输出样例 #2

输入 #2

7
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7

输出 #2

-1

输入输出样例 #3

输入 #3

15
8 5
2 9
1 12
6 11
9 3
15 1
7 12
7 13
10 5
6 9
5 1
1 9
4 5
6 14

输出 #3

11

说明/提示

约束条件

• \(1 \leq N \leq 2 \times 10^5\)
• \(1 \leq A_i, B_i \leq N\)
• 输入的图是一棵无向树
• 所有输入值为整数

样例解释 1

选取顶点 \(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\) 及边 \((1,2)\)、\((2,3)\)、\((3,4)\)、\((2,6)\)、\((2,7)\)、\((3,8)\)、\((3,9)\) 构成的子图满足烷烃条件。其中顶点 \(2\) 和顶点 \(3\) 的度数为 \(4\)，其余顶点度数为 \(1\)，因此顶点数的最大值为 \(8\)。

Solution

树是连通的，从任意结点出发都能访问所有结点，而题目要求至少有一个度数为 \(4\) 的结点，所以我们不妨找一个度数为 \(4\) 的结点先当做根。

定义 \(dp_u\) 为以 \(u\) 为根的最大烷烃大小，\(T\) 为给定的树，\(u\) 为树中的一个结点，\(children_u\) 为 \(u\) 的子结点集合。

因为我们要使结点数尽量多，所以要贪心地取答案最大的几个子结点的答案。

设 \(u\) 的子节点集合为 \(\operatorname{children}(u)\)，\(k = |\operatorname{children}(u)|\)。
将 \(\{ dp[v] \mid v \in \operatorname{children}(u) \}\) 从大到小排序，得到 \(s_1 \ge s_2 \ge \cdots \ge s_k\)。

定义分段函数 \(f(k)\)：

\[f(k) = \begin{cases} 1 + s_1 + s_2 + s_3, & k \ge 3 \\[2ex] 1, & k < 3 \end{cases} \]

则：

\[dp[u] = f(k) \]

对于每个节点 \(u\)，考虑它作为根结点的情况：

定义分段函数 \(g(k)\)：

\[g(k) = \begin{cases} 1 + s_1 + s_2 + s_3 + s_4, & k \ge 4 \\[2ex] 1 + s_1, & k = 1 \\[2ex] 0, & k = 0 \end{cases} \]

则答案：

\[ans = \max_{u} g(k) \]

其中 \(k = |\operatorname{children}(u)|\)。

dfs 一下就行。