[洛谷] OSU!（期望DP）

Problem

题目地址

Solution

• 期望的线性性质

设 \(f[i]\) 表示以 \(i\) 结尾的连续 \(1\) 区间的期望贡献（\(x^1\)），\(g[i]\) 表示以 \(i\) 结尾的连续 \(1\) 区间的期望贡献（\(x^2\))，则有：

\[f[i]=p_i(f[i-1]+1) \]

\[g[i]=p_i(g[i-1]+2f[i-1]+1) \]

（因为 \((x+1)^2=x^2+2x+1\)）

类似的，可以设 \(h[i]\) 表示以 \(i\) 结尾的连续 \(1\) 区间的期望贡献（\(x^3\)），则有 \(h[i]=p_i(h[i-1]+3g[i-1]+3f[i-1]+1)\)（因为 \((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)）。由于不方便统计答案（直接加上去会有一些 \("1"\) 重复计算贡献），我们又可以根据期望的线性性质：

\[E((x+1)^3) = E(x^3)+E(3x^2+3x+1) \]

计算每个位置上 \(1\) 的对答案增加的期望贡献。位置 \(i\) 上选 \("1"\) 对答案增加的期望贡献是：\(p_i(3g[i-1]+3f[i-1]+1)\)，所以最后的答案是：

\[\sum p_i(3g[i-1]+3f[i-1]+1) \]

时间复杂度 \(O(n)\)。

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x * f;
}
const int N = 100007;
int n;
double p[N],f[N],g[N],h[N];
int main()
{
	n = read();
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
	double ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		f[i] = p[i] * (f[i-1] + 1);
		g[i] = p[i] * (g[i-1] + 2*f[i-1] + 1);
		ans += p[i] * (3*g[i-1] + 3*f[i-1] + 1);
	}
	printf("%.1lf",ans);
    return 0;
}
/*
3 
0.5 
0.5 
0.5

6.0
*/

Summary

主要是期望的线性性质。注意想当然地加会重复计算贡献（自己手推一下会发现），要计算每个位置增加的期望贡献。