树形dp [JOI Open 2020] 发电站 / Power Plant

作为最强摸鱼人的 BaiBaiShaFeng，这个题解也是发到洛谷上了，希望给过。

先辈们说的太简略了我感觉有点难懂，虽然我的表达能力很弱，估计强不了多少。

注：参考过网上零散题解。

题意很好理解，我们就不过多叙述了。

不看炸掉的机子，我们实际上是在选择一个联通块去覆盖树的一部分，而我们所要求的就是这个联通块的最大值。

我们统一在这个联通快的最高点进行答案的统计，从子树的贡献向上递归，这个样子问题可以从子树中合并上来，进而考虑树形 dp。

设 \(dp[u]\) 表示联通块的最高点还在祖先处时 \(u\) 子树中的答案，形象的说，就是上不封顶。

这个时候我们只要选择了 \(u\) 子树中的发电机 \(u\) 自然会炸，因为最高点在祖先，上边会有其他启动的发电机。

所以我们一共有两种决策：选择所有子树中的最佳情况或者干脆不选子树，去选 \(u\) 上的发电机。

注意如果没有发电机便只有第一种情况。

明显不存在其他情况。

转移于是乎就明显起来了，我们在 \(\sum_{v\in son[u]} dp[v]-1\) 和 \(1\) 之间取最大就是 \(dp[u]\) 了。

这个式子对应了我们上边说的两种情况，下边说说答案的统计。

我们规定了在最高点统计答案，每个点都可以是最高点，对于一个最高点，若不想让这个点炸只能选择一个子树中的答案，若允许它炸就直接选择所有子树中的答案再让它炸，第二种和 \(dp[u]\) 最终的结果应该是相等的，但是含义并不一样，后边为了方便写在一起了。

代码如下，这个题想起来有些麻烦但实现起来就很轻松。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MN=1e6+116;
struct Node{
	int nxt, to;
}node[MN];
int head[MN], tottt;
void insert(int u, int v){
	node[++tottt].to=v;
	node[tottt].nxt=head[u];
	head[u]=tottt; return;
}
//以上是平平无奇的存图
int n, dp[MN], has[MN], ans=0;//has表示介个点有没有发电机
void Read(){
	memset(dp,0,sizeof(dp)); 
	memset(has,false,sizeof(dp));
	cin>>n;
	for(int i=1,u,v; i<n; ++i){
		cin>>u>>v; insert(u,v); insert(v,u);
	}
	string s; cin>>s; s=' '+s;
	for(int i=1; i<=n; ++i){
		if(s[i]=='1') has[i]=true;
	}
}
void dfs(int u, int father){
	for(int i=head[u];i;i=node[i].nxt){
		int v=node[i].to;
		if(v==father) continue;
		dfs(v,u); dp[u]+=dp[v];
		ans=max(ans,dp[v]+(has[u]));//最高点不炸，选择一棵子树
	}
	if(has[u]) dp[u]=max(dp[u]-1,1);
	ans=max(ans,dp[u]);//最高点可炸
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	Read(); dfs(1,1); cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

若有不足请告诉我，谢谢啦。