[ABC077D] Small Multiple 同余最短路

之前写过一篇介绍同余最短路的文章，其实写的蛮烂得，鸽了这道题好久，今天中午好不容易算是做出来了。

题意

给定一个 \(K\)，求出来 \(V=xk\)(\(x\) 为正整数)，使得这个 \(V\) 的各数位和是最小的。

这个 \(K\) 的级别是 1e5 的。

做法

我们发现直接去具体搞明白到底是哪一个数几乎是不可能的，我们不排除有一个长到你无法想象的树中间有一大堆 0 最后还是最优的，所以我们基本上否决的直接得出数的想法了。

那么我们的重心就自然而然转向维护数位和上了。

我们不难发现一个 \(V\) 的必然的性质是 \(V%K=0\)，而这个 \(K\) 的范围又是如此的眉清目秀。

为什么不维护所有数呢？我这么想到。

往同余最短路考虑一下。

我们设 \(dis[i]\) 表示 \(%K=i\) 的数字中，数位和最小的数字是多少。

我们选择从小到大思考，一个数想到一个更大的数，归根结底有两种方式。

一个是加一，一个是乘十，其他的都是这个的组合。

所以我们不难列出来约束条件。

$f_i \ge f_{(i+10)\mod K} $

\(f_i +1 \ge f_{(i+1)\mod K}\)

这样就显然起来了，按照这个约束连边就行了，应该都会同余最短路和差分约束吧，到这里就结束了。

代码↓

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MN=1e6+116;
struct Node{
	int nxt, to, w;
}node[MN];
int head[MN], tottt;
void insert(int u, int v, int w){
	node[++tottt].to=v;
	node[tottt].w=w;
	node[tottt].nxt=head[u];
	head[u]=tottt; return;
}
int K;
int dis[MN], vis[MN];
void Dijkstra(int s){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	priority_queue <pair<int,int>> q;
	q.push({0,s}); dis[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().second; q.pop();
		if(vis[u]) continue; vis[u]=true;
		for(int i=head[u];i;i=node[i].nxt){
			int v=node[i].to, w=node[i].w;
			if(dis[v]>dis[u]+w){
				dis[v]=dis[u]+w;
				q.push({-dis[v],v});
			}
		}
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0); cin>>K;
	for(int i=0; i<K; ++i){
		insert(i,(i*10)%K,0);
		insert(i,(i+1)%K,1);
	}
	Dijkstra(1);
	cout<<dis[0]<<'\n';
	return 0;
}