矩阵乘法

矩阵乘法

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 2\\ 3 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]

四则运算

• 加法 对应位置直接加

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} \]

• 乘法

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1+1 \times 2 & 1 \times 1+1 \times 5 \\ 2 \times 1+4 \times 2 & 2 \times 1+4 \times 5 \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \times e+b \times g & a \times f+b \times h \\ c \times e+d \times g & c \times f+d \times h \end{bmatrix} \]

矩阵乘法的前提 a 行 b 列的矩阵可以乘 b 行 c 列的矩阵

\[a \times b \times c = a \times (b \times c) 结合律满足 \\ a \times b = b \times a 交换律是不满足的 \\ 只有方阵能够自乘 \]

• 除法
  矩阵的逆 逆矩阵

特殊矩阵

标准矩阵 单位矩阵
单位矩阵 * 任意矩阵 = 任意矩阵本身

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 4 \\ 7 & 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 1 & 4 \\ 7 & 5 & 1 \end{bmatrix} \]

单位矩阵不止一种，是无穷多种

矩阵乘法

想求斐波拉契数列的第 n 项 \(O( \log (n) \times 27)\)

\[<0,1,1,2,3,5,8,13...> \]

\[a_{i} = a_{i-1} + a_{i-2} \]

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 转移矩阵 \]

假如现在想求出

\[fib(1e18) = [0,1,1] \times \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} ^ {1e18} \]