P4174 [NOI2006] 最大获利 题解

思路

看题解基本都是最大权闭合子图，来一个网络流最小割的题解。

建模：将中转站、用户名看成点。

• 建立点 \(A_i\) 表示中转站 \(i\)，连边 \(S\rightarrow A_i\)，容量为 \(P_i\)（割这条边表示建立中转站 \(i\) 需要 \(P_i\) 的费用）。
• 建立点 \(B_i\) 表示第 \(i\) 个用户群，连边 \(B_i \rightarrow T\)，容量为 \(C_i\)（割这条边表示不满足第 \(i\) 个用户的要求，损失 \(C_i\) 的）。
• 若第 \(i\) 个用户群会使用中转站 \(j\)，那么 \(S\rightarrow A_i\) 与 \(B_i \rightarrow T\) 不能同时保留。
• 可以连边 \(A_j \rightarrow B_i\)，容量为正无穷，这样就限制了两条边不能同时保留。

最大净获利（也就是答案）\(=\) 所有用户群的获益之和 \(-\) 最小割的答案。