证明log X < X 对于所有的X > 0成立

如果 

       如果X = 1

           logX = 0 -> 0 < 1 命题成立

       否则

           logX < 0 而 X > 0 所以 命题成立

如果 1 < X < 2

       logX < 1 命题成立

如果 X = 2

       logX = 1 < 2 命题成立

　　归纳基础：1< X ≤ 2 时命题成立，由上可知。

　　归纳假设：假设命题对任意正整数p(p≥1)，p < X ≤ 2p 时命题成立，求证对于任意的正整数p，2p < Y < 4p命题成立。

　　证明：logY = log(2·Y/2) = log2 + log(Y/2) < 1 + Y/2 < (Y/2 + Y/2 = Y)。

　　　　　即logY < Y成立。

　　数学归纳法的步骤是完美的，因此命题logX < X，X > 0成立。

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