泡泡糖

好久没写博客了，上一篇公开的博客还是 NOI 那段时间写的。好像泡泡糖还没人说过怎么做，我来说一下吧。QOJ 难度 6，根本不会做诶。

\(m\) 并不大，但一开始就往状压之类的地方想就完蛋了。即使确定每个位置的排名好像也无法给出一个有道理的构造，所以我们必须抛开【确定相对大小关系】这一点，尝试别的方向。

重要的一步转化是，将 \(|a-b|\) 视作 \(\sum\limits_{x}[a\leq x\cap x+1\leq b]\)，这个转化在 Permutation on Tree 中亦有提及。接下来我们从单个 \(x\) 的视角去看待整个问题，好处是值域被简化为了 \(01\)，先只考虑最小化这个 \(x\) 上的贡献。很容易在 \(O(nm2^m)\) 的时间复杂度内解决，转移采用 FWT 即可。

事实上，最终答案就是所有 \(x\) 的答案相加，证明这点只需要证明按照任意顺序枚举 \(x\) 对值域进行分裂，对于每个 \(x\) 取到的都一定是最小贡献。证明我也不是很会，大概是，只考虑两次分裂 \(x,y\)，令 \(x>y\)，则矛盾只有第一次分裂 \(>x\) 和第二次分裂 \(\leq y\)，可以说明这种一定不会出现？

每次选一个等价类分裂的话要分裂 \(O(nm)\) 次。但实际上分裂时没有必要扫一遍整个矩阵，若一列上有需要分裂的等价类才枚举这一列，采用分治的方法分裂等价类，这样一列最多出现在 \(O(m\log nm)\) 次分裂内，总的时间复杂度为 \(O(2^mnm\log nm)\)，吧。

实现的话，solve(l,r,L,R) 代表第 \(l\sim r\) 列，所在值域等价类为 \([L,R]\)，对其进行分裂。

感觉有点怪怪的，有点累累的，代码睡醒再说吧。

爱你三千遍。