计数技巧

0. 容斥和不容斥都要想想。
1. 二项式反演：\(\binom ix(1-1)^{i-x}\)。
2. 权值 \(-1\) 变成钦定。省集 wmh round t3。
3. 延迟钦定提前分组/排序。APIO t1、代码源某场 T1。
4. 点边容斥。省集 day8t1 合法点构成连通块因此直接点边容斥算方案数。
5. 有时 dp 不好直接合并也可以容斥合并。递增树列。
6. 对于一个过程算期望步数可以对于每个状态算经过次数。PA2026 某道题。
7. 集合划分容斥：\(G(H(x))=F(x)\)。解出 \(H(x)\)。核桃省选前某场 T2。
8. 比较复杂的递推式有时可以解 ode。
9. 插值。有时候需要利用插值是线性变换，CCPC郑州。
10. 转置。这个说得比较多了，不止计数能转置。
11. min-max 容斥。期望意义下要求元素独立。\(E[\max(S)]=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\)，扩展形式。
12. Burnside 引理。循环同构多考虑一下这个东西，轨道数=群元素不动点个数平均值。
13. 矩阵树定理。度数矩阵-邻接矩阵的行列式，忽略自环。
14. \(O(k\log k+mk)\) 求 \(k\) 次多项式 \(n\) 次幂的前 \(m\) 项，求导后递推系数。具体做法见 ckj 博客。
15. 网格图连通块容斥。见 ckj 博客。
16. 树的拓扑序数量可以简单维护。
17. prufer：有标号无根树和长度为 \(n-2\)，值域为 \(n\) 的序列双射。每次选编号最小的叶子删掉，记录父亲。图连通方案数是 \((\sum s_i)^{k-2}\prod s_i\)，证明见 oi-wiki。
18. 平面图割计数转对偶图上合法路径计数。
19. 分步转移。
20. 一大堆集合幂级数，再说吧。
21. lcm 和 gcd 可以容斥，与和或也可以容斥。