逐点牛顿迭代

实际上是 P10461 题解。

给定形式幂级数 \(f\) 和集合幂级数 \(G\)，求 \(F=f(G)\)，保证 \([x^{\emptyset}]G=0\)，所以 \(f\) 只有 \(0\sim n\) 次有用。

想法很高妙啊，把 \(x^S\) 写成 \(\prod\limits_{i\in S}x_i\)，求出 \([x_n^1]F\)，然后 \(G\) 就可以变成 \([x_n^0]G\) 了。对两边求 \(x_n\) 的偏导，不能直接应用链式法则，因为我们是在模 \(x^2_i\) 的环上操作，合理的做法是将 \(f(G)\) 写成 \(f(A+Bx_n)\)，其中 \(AB\) 均不含 \(x_n\)，泰勒展开得到 \(f(A)+f'(A)Bx_n\)，高阶项均被截断。对这个式子求导得到 \([x_n^1]F=[x_n^0]f'(G)\times[x_n^1]G\)。\(f'(G)\) 只需保留不含 \(x_n\) 的项。

从 \(x_1\) 递推到 \(x_n\)，每次求出这一层的 \(f^{(0)}(G_i),f^{(1)}(G_i),f^{(2)}(G_i),\cdots,f^{(n-i)}(G_i)\)。到下一层时通过上一层的信息递推，\([x_{i+1}^0]f^{(k)}(G_{i+1})=f^{(k)}(G_i)\)，\([x_{i+1}^1]f^{(k+1)}(G_{i+1})=f^{k+1}(G_i)\times[x_{i+1}^1]G_i\)。

第 \(i\) 层需要做规模为 \(i-1\) 的卷积 \(n-i+1\) 次，时间复杂度 \(O(\sum\limits_{i=1}^n(n-i+1)2^{i-1}(i-1)^2)=O(n^22^n)\)。