ARC 被同学 n+6 祭

大家好，标题是什么意思呢？小编这就来告诉大家，这指的是在 AtCoder Regular Contest 212 (Div.2) 这场比赛中，小编比同学少过了六个题。具体是哪六个题呢，其实就是 ABCDEF 这六个题啦！小编为什么一道题都不做呢？是不屑于做吗？当然不是啦，肯定是一道不会做啦！

ARC189

A.Reversi 2

考虑这个操作实际上就是选择三个相邻的极长同色段合并，于是可以得到充要条件：最终序列中极长同色段首尾的奇偶性必须和颜色相同。不同段之间独立，考虑计算一段的方案数，实际上就是为其钦定一个合并顺序，容易写出对于长度为 \(i\) 的连续段，\(f_i=i!!\)，同时操作次数为 \(\frac{i-1}2\)，组合起来的方案数易于计算。

B.Minimize Sum

设中间位置为 \(m\)，\(x=a_{i+1}\)，\(y=a_{i+2}\)，\(x+y>2m\) 时可以让答案变小。剩下好像没法做，注意到操作实际上就是交换差分数组上两个奇偶性相同的位置，于是直接排序即可。难点在于注意力。

C.Balls and Boxes

先考虑只有一种颜色的球，启发我们对着置换环做。充要条件是两种颜色都在对应的置换环上，然后可以把环从 \(X\) 处断开（显然到 \(X\) 就不会操作了）。操作次数上界是 \(dis_0+dis_1\)，只需要关心距离 \(X\) 最远的点，这样问题被简化成了每条链上只有一个点。将两条链放在一起，会有若干 \((x,y)\)，代表第一条链处于 \(x\)，第二条链处于 \(y\) 时可以一起操作。需要选出尽可能多的 \((x,y)\) 使得无交，做最长上升子序列即可。

D.Takahashi is Slime

Fish 2 超级无敌巨大弱化版。我奶奶都会做。

E.Straight Path

vp 时没仔细做这个题，一般这种情况题解会在 0min~100年 之间更新。

ARC187

A.Add and Swap

看上去操作次数足够大，所以我们找一个有限次操作内能结束的方法就好。容易发现 \(n=2\) 时不一定合法。\(n\) 更大的情况，考虑增量构造，插入第 \(i\) 个数时若不合法，那么操作 \(i-1,\cdots,1,1,2,\cdots,i-1\)，这样做若干次之后就合法了，\(i=2\) 时操作 \(2323232323\cdots\)。

一开始的想法是按照模 \(k\) 分类，这样简化成了 \(k=1\) 的情况，在获得一些操作方法后发现可以直接增量构造。

B.Sum of CC

数连通块，考虑钦定代表元，对代表元计数。一个方向是钦定连通块最靠后的点是代表元，不过这样不太能做，首先为了算对需要加一个二项式反演，这样已经有了两维状态，写出条件之后发现得到的是一个 \(O(n^4)\sim O(n^5)\) 的 dp，不太能做。那换维做，钦定连通块的最大值是代表元，发现按照值域从小到大填数之后有非常好的性质是连通块必然是一个已经填完的后缀，且一个已经填完的后缀必然是一个连通块，于是不需要二项式反演。枚举这个后缀，可以做到 \(O(nm\log n)\)。

C.1 Loop Bubble Sort

D.Many Easy Optimizations

vp 结束后 5min 写完的，呃呃，B 在错误方向上花的时间有点长，不过这道题本身倒做得挺快的。考虑如何对一个序列算答案，钦定最小值，然后每个位置都可以贪心往小填。需要求每个前缀的答案，我们依然扫描值域来钦定最小值，暴力做法是枚举单调栈中的每个点做区间 chkmin。不过注意到定义连续段为单调栈中两个相邻元素之间的段，定义势能为连续段数，那么一次操作会删掉若干个连续段，同时新增 \(O(1)\) 个连续段，这样维护连续段即可，此事在重庆市 NOIP2025 赛前模拟 T4 中亦有记载。维护连续段需要使用 odt 状物，可能也不算好写。

E.Replace Triplets