SWERC 2024 与北闭中学 12.27 模拟赛

鱼与熊掌不可兼得。

SWERC 的 BDGHIM 比较简单。

E. Building the Fort

找一个比较厉害的结构，一种在我小学时元旦晚会上被班主任使用过的结构形如：

考虑在这种结构上做一些修改来构造：

全对。为了满足 \(3n\) 的限制需要实现精细一点，不算很好写。

J. Recovering the Tablet

首先想到转线性规划，但这个绝对值不太好处理，那只能尝试流。如果没有最小化代价的话，建模比较简单，对于行列限制分别建立虚点后连边，因为每个点恰好被一个行限制和一个列限制覆盖，所以没有太多细节需要考虑。有了代价以后想到变成最小费用最大流，但是代价是绝对值的形式。考虑每个单位流量经过 \((i,j)\) 都意味着将这里的取值增加 \(1\)，那么前 \(a_{i,j}\) 个流量会产生 \(-1\) 的贡献，剩下会产生 \(1\) 的贡献，建两条边并将 \(a_{i,j}\) 加到答案上即可。

注意取值需要在 \([1,9]\)，所以连边的时候要注意一下容量。残量网络显然没有负环。

L. The Charioteer

一开始的想法是找到一种移动尽量少距离的方式，我的方法是 FRRR 来移动 \((\pm2,\pm2)\)，于是可以走到所有 \(i+j\equiv x+y\pmod4\) 的位置，考虑如何改变 \(i+j\) 在模 \(4\) 意义下的值。取 \(O(1)\) 个 F 之后就会遍历到模 \(4\) 意义下所有同余类。

考虑能不能求出来 \((x,y)\)。确定 \(x\) 以后就可以确定 \(|y|\)，再用一次移动就可以确定符号；而确定 \(x\) 可以在 \(O(\sqrt x)\) 次操作内完成。这样可以在 \(O(\sqrt x)+O(\frac{m}4)\)，其中 \(m\) 是距离目标曼哈顿距离的最大值。此时对速度的利用仍然不足，考虑往一个正确的方向去快速靠近目标，这样 \(m\) 会下降到 \(10^4\sim10^5\) 级别，这种快速逼近需要 \(O(\sqrt x)\) 次操作，这样操作精细实现一下可以卡进去。反正就是比较需要手法。

A. Titanomachy

原题：世上最幸福的女孩

F. Yaxchilán Maze

\(b\) 的限制实际上就是确定了 \(b_i\) 会在某个时间后封锁。将每个点拆成入点和出点之后可以将问题变成每条边会在 \([l_i,r_i]\) 时间出现，单位时间可以跳到连通块内的任何一个点，求最短路。

考虑线段树分治，DFS 时维护每个点是否能被到达，这样在到一个叶子之后会覆盖一整个连通块的状态，可以通过在并查集合并、撤销时多维护一些信息来实现这个步骤。如何求出每个点会在哪个时间后封锁？依然线段树分治，并查集上维护 \(b_i\) 组成的可重集，启发式合并即可。时间复杂度 \(2\log\)。

C. Phryctoria

Add to-do-list.

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T1. 混沌纪元 ——「好区间的法则」

变一下式子得到 \(\frac1{a_i}+\frac1{a_j}<\frac1{\sum}\)。所以一定选最大和次大。容易发现不合法会带来一些非常强的势能条件。利用超级钢琴的技巧，优先队列维护所有可能的答案区间，每次一定是删掉最大或次大进行扩展，判断是否合法可以线段树。我能证出来的复杂度上界是 \(3\log\)。考虑最大的扩展次数不会超过 \(O(\log)\) 次，当最大固定时次大的扩展次数不会超过 \(O(\log)\) 次。

不过写一下这个东西在 0.3s 内通过了 \(n,q=2\times 10^5\)，不太懂，讲题的时候学一下。

你们这个模拟赛怎么还有非公平组合游戏啊？

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搞笑，下午讲题根本没去学校，直接翘掉睡大觉了。