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参考资料：[How to take the Dual of a Linear Program](https://pierrepinson.com/31761/Literature/lahaie2008-lpprimer.pdf)

将多元函数最优化问题改写为其对偶问题是一个机械的过程，下面以最优化方向为 $\min$ 进行对偶为例，若最优化方向为 $\max$ 则取反。

最优化问题可以从一个很随意的形式开始，对 $x_i$ 的线性组合可能存在 $\leq$、$\geq$、$=$ 三种约束的一种，注意限制不能是严格的。将所有约束转化为只有 $\leq 0$ 和 $=0$ 两种情况。这是对偶的第一步。

接下来，对于每条约束，设置乘子变量 $\lambda_i$。若限制为 $\leq0$，则 $\lambda_i\geq0$，否则不做约束，将 $\lambda_i$ 乘上对应约束左边的式子，加到需要最优化的函数上，这样你得到了一个关于 $\lambda_i$ 和 $x_i$ 的多元函数 $L(\lambda,x)$，$\lambda$ 和 $x$ 都有对应的限制。

现在，$\max_{\lambda}\min_xL(\lambda,x)$ 这个式子和原最优化问题的解相同。现在的 $L(\lambda,x)$ 是以 $\lambda$ 为主元，将其变形成以 $x$ 为主元。随后删去包含 $x$ 的项，相应的添加关于 $\lambda_i$ 线性组合限制：

- $x_i\geq0$，限制为 $\geq0$。
- $x_i\leq0$，限制为 $\leq0$。
- $x_i$ 自由，限制为 $=0$。

这样变成了一个关于 $\lambda_i$ 在 $\max$ 方向上的最优化问题。强对偶定理指出，在原最优化问题存在最优解的情况下，对偶问题一定存在最优解。

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$\max_{\lambda}\min_xL(\lambda,x)$ 为什么和原最优化问题的解相同？

强对偶定理保证了这一点，来一点个人的理解。考虑 $\leq0$ 的所有限制记作 $g_i(x)$，$=0$ 的所有限制记作 $h_i(x)$。则 $L(\lambda,x)=f(x)+\sum\lambda_ig_i(x)+\sum\lambda_ih_i(x)$，根据上文的约束，可以发现在满足 $\lambda$ 和 $x$ 限制的情况下 $L(\lambda,x)\leq\min f(x)$。感性理解一下，这个 $\max$ 套 $\min$ 本质上就在做一个博弈的过程，不断在提高下界，而这个下界最终不会高过原问题的答案。

之后添加 $\lambda_i$ 线性组合的步骤比较好理解。若 $x_i\geq0$，与之相乘的 $\lambda_i$ 线性组合 $\le0$ 会导致内层博弈会让答案无穷小，因此必须满足线性组合 $\geq0$，其余两个方向同理。

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2025.12.18 省选模拟赛  T3，作为例子演示一下。
$$
\min\limits_{X_{i,j}\geq0}\sum\limits_i\sum\limits_j-X_{i,j}\\
\forall1\leq i\leq2n,\sum\limits_{j=1}^nX_{i,j}\leq A_i\\
\forall1\leq j\leq n,\sum\limits_{i=1}^{2n}X_{i,j}\leq B_j\\
\forall1\leq i,j\leq n,X_{i,j}\leq C_i\\
\forall n+1\leq i\leq2n,1\leq j\leq n,X_{i,j}\leq D_j
$$
对于每个限制设置变量：
$$
\max\limits_{a_i,b_i,c_{i,j},d_{i,j}\geq0}\min_{X_{i,j}\geq0}\sum\limits_i\sum\limits_j-X_{i,j}+\sum\limits_ia_i(-A_i+\sum\limits_jX_{i,j})+\sum\limits_jb_j(-B_j+\sum\limits_iX_{i,j})+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_jc_{i,j}(-C_i+X_{i,j})+\sum\limits_{i=n+1}^{2n}\sum\limits_jd_{i,j}(-D_j+X_{i,j})
$$
展开：
$$
\max\limits_{a_i,b_i,c_i,d_i\geq0}\min\limits_{X_{i,j}\geq0}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_jX_{i,j}(a_i+b_j+c_{i,j}-1)+\sum\limits_{i=n+1}^{2n}\sum\limits_jX_{i,j}(a_i+b_j+d_{i,j}-1)+\sum\limits_i-a_iA_i+\sum\limits_j-b_jB_j+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j}-c_{i,j}C_i+\sum\limits_{i=n+1}^{2n}\sum\limits_j-d_{i,j}D_j
$$
添加限制：
$$
\min\limits_{a_i,b_i,c_i,d_i\geq0}\sum\limits_ia_iA_i+\sum\limits_jb_jB_j+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j}c_{i,j}C_i+\sum\limits_{i=n+1}^{2n}\sum\limits_jd_{i,j}D_j\\
\forall1\leq i,j\leq n,a_i+b_j+c_{i,j}-1\geq0\\
\forall n+1\leq i\leq 2n,j,a_i+b_j+d_{i,j}-1\geq0
$$
这个问题本质就是，可以用 $A_i$ 的代价覆盖第 $i$ 行，$B_j$ 的代价覆盖第 $j$ 列，$C_i$ 的代价覆盖第 $1\leq i\leq n$ 行的某个格子，$D_j$ 的代价覆盖后 $n$ 行第 $j$ 列的某个格子，要求每个格子至少覆盖一次。从这里可以看出我们将限制和贡献进行了对偶。另一种更加广为人知的对偶方式也可以处理这道题，那种方式更能体现对偶的本质。但有时候那样对偶不太好处理。

后面动态规划可以直接做到 $O(n^2)$，考虑先用 $C_i,D_j$ 覆盖所有格子，然后选择一个 $A$ 或 $B$ 会产生相应的代价，枚举各选了几个 $A_i$ 和 $B_j$ 即可。

对偶在满足四边形不等式的区间划分问题上亦有很好的应用，更详细的内容可以从 wtf2022 Welcome to Tokyo! 一题中学习。