有限状态自动机理论

大部分内容实际上就是把论文抄了一遍，有些地方补充了一些东西。

下文中 \(\sum\) 指字符集，\(\sum^{*}\) 指在 \(\sum\) 上的所有串，\(\sum_{\epsilon}=\sum\cup\{\epsilon\}\)，\(P(Q)\) 表示 \(Q\) 的幂集。

用 \((Q,\sum,\delta,q_0,F)\) 描述一个确定性有限状态自动机（DFA）：

• \(Q\)：有限状态集合。
• \(\sum\)：有限字符集。
• \(\delta:Q\times\sum\to Q\)：转移函数。
• \(q_0\in Q\)：起始状态。
• \(F\)：接受状态集合。

对于 DFA \(M=(Q,\sum,\delta,q_0,F)\) 和 \(w\in\sum^{*}\)，称 \(M\) 接受 \(w\) 当存在状态序列 \((r_0,r_1,\dots,r_n)\) 使得：

• \(r_0=q_0\)。
• \(\delta(r_i,w_i)=r_{i+1}\)。
• \(r_{n-1}\in F\)。

形式语言（语言）是 \(\sum^{*}\) 的一个可空子集。对于所有 \(M\) 接受的串 \(w\) 构成的集合 \(L(M)\)，称 \(M\) 识别 \(L(M)\)。能被某个 DFA 识别的语言称为正则语言。将 \(M\) 判断是否接受 \(w\) 的过程称为计算。

用 \((Q,\sum,\delta,q_0,F)\) 描述一个非确定性有限状态自动机（NFA）：

• \(Q\)：有限状态集合。
• \(\sum\)：有限字符集。
• \(\delta:Q\times\sum_{\epsilon}\to P(Q)\)：转移函数。
• \(q_0\in Q\)：起始状态。
• \(F\subset Q\)：接受状态集合。

\(\epsilon\) 在串中可以任意增删。NFA \(M=(Q,\sum,\delta,q_0,F)\) 接受 \(w\) 当存在状态序列 \((r_0,r_1,\dots,r_n)\) 使得：

• \(r_0=q_0\)。
• \(r_{i+1}\in\delta(r_i,w_i)\)。
• \(r_{n}\in F\)。

NFA 能识别的语言类显然不会少于 DFA。可以构造地证明，NFA 和 DFA 识别语言的能力相同。称两个有限状态自动机（FSM）等价，当它们能识别的语言类相同。对于 NFA \(M=(Q,\sum,\delta,q_0,F)\)，令 \(E(q)\) 代表从 \(q\) 出发，只沿 \(\epsilon\) 转移能到达的状态集合，构造 DFA \(M'=(Q',\sum,\delta',E(q_0),F')\)：

• \(Q'=P(Q)\)。
• \(\delta':Q'\times\sum\to Q'\)，其中 \(\delta'(S,c)=\cup_{s\in S,q\in\delta(s,c)}E(q)\)。
• \(F'=\{S|S\subset Q,S\cup F\neq\emptyset\}\)。

容易发现 \(M'\) 所在的状态就是 \(M\) 所在的状态集合。由于 DFA 和 NFA 计算能力等价，因此一个语言是正则的当且仅当它能被某个 NFA 识别。

除了用 FSM 表达正则语言外，另一种方法是正则表达式，称 \(L(R)\) 表示正则表达式 \(R\) 对应的语言，\(R\) 可以是：

• \(c\in\sum\)，对应 \(L(R)=\{c\}\)。
• \(\epsilon\)，对应 \(L(R)=\{\epsilon\}\)。
• \(\emptyset\)，对应 \(L(R)=\emptyset\)。
• \((R_1+R_2)\)，对应 \(L(R)=L(R_1)\cup L(R_2)\)。
• \((R_1R_2)\)，对应 \(L(R)=\{uv|u\in L(R_1),v\in L(R_2)\}\)。
• \((R_1^{*})\)，对应可数个 \(L(R_1)\) 中的元素拼接，即 \(L(R)=\{u_1u_2\dots u_n|u_i\in L(R_1),n\in\mathbb{N}\}\cup\{\epsilon\}\)。

正则表达式和 FSM 能表述的语言类相同：

一个语言是正则的，当且仅当它能被某个正则表达式表示。

从两个方向证明：

如果一个语言能被正则表达式表达，那么它是正则的。

只需将正则表达式构造成一个 NFA。利用正则表达式的生成方式进行归纳构造。图示可见徐哲安的集训队论文。

如果一个语言是正则的，那么它可以被某个正则表达式表示。

即找到一种将 FSM 转化成正则表达式的方法，由于 NFA 和 DFA 等价且 DFA 结构较为简单，因此只需找到将 DFA 转化成正则表达式的方法。首先引入广义非确定性有限状态自动机（GNFA），用一个五元组 \((Q,\sum,\delta,q_s,q_t)\) 描述：

• \(Q\) 是有限状态集合。
• \(\sum\) 是有限字符集。
• \(\delta:(Q/\{q_t\})\times(Q/\{q_s\})\to R\)，每条边上是一个正则表达式。
• \(q_s\in Q\)：开始状态。
• \(q_t\in Q\)：接受状态。

\(w=w_0w_1\dots w_{n-1}\) 被某个 GNFA \(M=(Q,\sum,\delta,q_s,q_t)\) 接受，当存在状态序列 \(q_0q_1\dots q_m\)：

• \(w\) 可以写成 \(w_0w_1w_2\dots w_{m-1}\)（\(w_i\in\sum^{*}\)），\(w_i\in L(\delta(q_{i},q_{i+1}))\)。
• \(q_0=q_s\)。
• \(q_m=q_t\)。

我们可以将一个 DFA 转化成 GNFA。对于 DFA \(M=(Q,\sum,\delta,q_0,F)\)，构造 GNFA \(M'=(Q\cup\{q_s\}\cup\{q_t\},\sum,\delta',q_s,q_t)\)，其中：

• \(\delta'(q_s,q_0)=\epsilon\)，\(\delta'(f\in F,q_t)=\epsilon\)。
• 对于其它转移，可以直接使用正则表达式达到相同的效果。

只需说明 GNFA 可以转换为正则表达式。考虑一个拥有 \(k\) 个状态的 GNFA（\(k>2\)），任取 \(q_r\in Q/\{q_t\}/\{q_s\}\)，构造新的 GNFA \((Q/\{q_r\},\sum,\delta',q_s,q_t)\)。其中对于 \(q_i\in Q/\{q_t\},q_j\in Q/\{q_s\}\)，有：

\[\delta'(q_i,q_j)=\delta(q_i,q_r)\delta(q_r,q_r)^{*}\delta(q_r,q_j)+\delta(q_i,q_j) \]

这个构造凸显了正则表达式的强大之处。新的 GNFA 与原来的 GNFA 等价，因此我们找到了一种将 GNFA 状态数减少的有效方法。直到 \(k=2\) 时，连接 \(q_s\) 和 \(q_t\) 的正则表达式就与整个 GNFA 等价。

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正则表达式提供了一种从代数角度描述正则语言的方法，以下关于正则表达式的代数定律成立：

• \(L+M=M+L\)。
• \((L+M)+N=L+(M+N)\)。
• \((LM)N=L(MN)\)。
• \(\emptyset+L=L\)，即空集是并运算的单位元（以下也称加法运算）。
• \(\epsilon L=L\)，即 \(\epsilon\) 是连接运算的单位元（以下也称乘法运算）。
• \(\emptyset L=\emptyset\)，即空集是乘法运算的零元。
• \(L(M+N)=LM+LN\)。
• \(L+L=L\)。
• \((L^{*})^{*}=L,\epsilon^{*}=\epsilon,\emptyset^{*}=\epsilon\)。

乘法没有交换律，正则表达式除了没有逆外，整个结构都非常类似一个环。定律中所描述的正则表达式都是以变量的形式给出的，此法在抽象代数中运用是顺理成章的，但是在正则表达式中，用变量还是存在若干不便之处，例如如何判断两个带变量的正则表达式是否相同？抽象代数中我们判断两个带变量的元素相同，只需比较其的形式是否等价，正则表达式中基于如下引理也存在类似的方法：

设 \(E\) 是包含变量 \(L_1,L_2,\dots,L_m\) 的正则表达式，对于每个 \(L_i\) 将其替换为标志符 \(a_i\)，得到形式正则表达式 \(T(E)\)。若将每个 \(L_i\) 替换为具体的语言 \(L'_i\)，得到具体的正则表达式 \(E'\)。我们可以构造 \(L(E')\)：对于任意 \(A\in L(T(E))\)，将其中的 \(a_i\) 替换为 \(L'_i\) 中的任意元素，将所有得到的串加入 \(L(E')\)，记这些串的集合为 \(w(A)\)。

需要证明的无非就是 \(w(A)\subseteq L(E')\)，且 \(L(E')\) 中的每个串都在某个 \(w(A)\) 出现过。归纳证明，此处略过。注意若正则表达式引入交运算，则引理不再成立。根据引理可以得到：

对于一对带有相同变量集合的正则表达式 \(E\) 和 \(F\)，\(E=F\) 当且仅当 \(L(T(E))=L(T(F))\)。

这一部分后面再写。

一点用没有，不写了。

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设 \(L\) 是正则语言，存在与 \(L\) 相关的常数 \(n\)，使得对于 \(L\) 中的串 \(|xyz|\ge n\)，满足：

• \(y\neq\epsilon\)。
• \(|xy|\leq n\)。
• \(xy^kz\in L\)，其中 \(k\geq 0\)。

考虑 \(L\) 对应的一个 DFA，设该 DFA 有 \(n\) 个状态，对于 \(L\) 中长为 \(m\geq n\) 的串 \(w=w_1w_2\dots w_m\) 而言，令 \(p_i\) 为读入 \(w_i\) 后在 DFA 上所处的状态。根据抽屉原理，必然有 \(0\le i<j\le n\) 满足 \(p_i=p_j\)，因此构造：

• \(x=w_1w_2\dots w_i\)。
• \(y=w_{i+1}w_{i+1}\dots w_j\)。
• \(z=w_{j+1}w_{j+2}\dots w_m\)。

其中 \(y\) 在 DFA 上形成了一个环，因此 \(xy^kz\in L\)。这称作正则语言的泵引理，泵引理为判断正则语言提供了必要条件（并非充要）。

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两个 DFA 等价当且仅当识别相同的正则语言，所有 DFA 被划分为了无穷个等价类 ，我们往往只关心状态数最小的那个（最小 DFA）。

对于某个 DFA，在两个状态 \(pq\) 之间定义关系 \(\sim\)，\(p\sim q\) 当且仅当对于任意输入串 \(w\)，令 \(\delta'(p,w)\) 代表以 \(p\) 为初始状态时读入 \(w\) 后所在的状态，则 \([\delta'(p,w)\in F]=[\delta'(q,w)\in F]\)。即不存在输入串能区分 \(p\) 和 \(q\)。注意 \(w\) 可以为 \(\emptyset\)。

\(\sim\) 是等价关系。将 DFA 的所有状态划分成了若干个等价类 \(S_1,S_2,\dots,S_m\)，考虑若对于 \(p\in S_i\)，有 \(\delta(p,c)\in S_j\)，则 \(\forall p'\in S_i,\delta(p',c)\in S_j\)。只需考虑反证，若存在 \(q\in S_i\) 使得 \(\delta(p,c)\in S_k(j\neq k)\)，任取一个可以区分 \(S_j\) 和 \(S_k\) 的串 \(w\)，则我们取 \(c+w\) 即可区分 \(pq\)。

同样，一个等价类里面要么全是接受状态，要么全不是接受状态，考虑取 \(w=\emptyset\) 即可说明。设原来的 DFA 为 \(A\)，我们新建一个 \(B\)，使得 \(B\) 的状态为 \(A\) 的所有等价类，转移函数和接受状态依上文简单得到。取 \(A\) 的初始状态所在的等价类为 \(B\) 的初始状态。可以说明，\(B\) 和 \(A\) 等价。考虑任取串 \(w\)，在同一时刻，在 \(A\) 上的状态所属等价类即为在 \(B\) 上的状态，因此两者等价。

我们可以通过不断分裂等价类来减少 DFA 的状态数。令 \(p\sim_k q\) 代表只考虑所有长度不超过 \(k\) 的串所带来的等价关系。维护 \(G_k\) 代表 \(\sim_k\) 带来的所有等价类，于是 \(G_k\to G_{k+1}\) 只需要对每个等价类内部做分裂。对于在 \(G_k\) 中属于同一等价类的 \(u\) 和 \(v\)，其在 \(G_{k+1}\) 中不属于同一等价类当且仅当 \(\delta(u,c)\) 和 \(\delta(v,c)\) 在 \(G_k\) 中不属于同一等价类。具体实现只需哈希维护，单轮分裂时间复杂度 \(O(n|\sum|)\)，迭代次数最坏为 \(O(n)\)。不过，随机情况下迭代次数可能达到 \(O(\log n)\) 甚至更低。

为了说明此时的 DFA 就是最小的 DFA，我们介绍 Myhill-Nerode 定理。

对于给定的语言 \(L\)，以及任意一对串 \(xy\)，定义 \(x\equiv_L y\) 当且仅当 \(\forall z,xz\in L\Leftrightarrow yz\in L\)，易见这是一个等价关系，将 \(\sum^{*}\) 划分成了若干等价类。Myhill-Nerode 定理指出：

• 一个语言 \(L\) 是正则的，当且仅当 \(\equiv_L\) 对应的等价类个数有限。
• 描述正则语言 \(L\) 的最小 DFA 唯一（忽略状态标号），状态数为 \(\equiv_L\) 对应的等价类个数。

分作了两个方向证明。

对于正则语言 \(L\)，都有 \(\equiv_L\) 对应的等价类个数有限，且不超过识别 \(L\) 的最小 DFA 的状态数。

取一个识别 \(L\) 的最小 DFA，若 \(\equiv_L\) 的等价类数量超过该 DFA 的状态数，则根据抽屉原理，必然有两个不属于同一等价类的串到达 DFA 的同一状态。

对于任意语言 \(L\)，若有 \(\equiv_L\) 对应的等价类个数有限，则一定能构造出识别其的唯一的 DFA 使得状态数等于等价类个数。

类似上文关于 DFA 上等价关系的构造。易有对于 \(x\equiv_L y\)，任取字符 \(c\)，有 \(xc\equiv_L yc\)，证明同上。同时存在一个等价类为 \(L\)。那么我们构造一个等价类和状态一一对应的 DFA，取空串所在等价类为初始状态，取 \(L\) 为接受状态，转移函数由等价类之间的转移关系得到。考虑说明 DFA 的唯一性，若有一个和 \(A\) 不同构，状态数等于等价类个数的 DFA \(B\)，则 \(B\) 的状态也需要和等价类一一对应，容易发现必然会存在串在 \(B\) 上转移时被划分到了错误的等价类中。

DFA 上的不同等价类意味着不存在输入串能区分两个状态，\(\sum^{*}\) 上的不同等价类意味着不存在 \(z\) 能区分 \(xy\)。最小化后的 DFA 状态显然一一对应所有等价类，因此合并等价类后的 DFA 就是最小 DFA。Myhill-Nerode 定理也给出了一种判断正则语言的方法，若存在任意多个串两两不等价，则 \(L\) 不是正则语言。

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Hopcroft 算法基于启发式分裂来最小化 DFA。考虑暴力的分裂算法中实际上在对于等价类 \(Y,A\)，找到沿着 \(c\) 能转移到 \(A\) 的状态集合 \(X\)，若 \(Y\cap X\) 和 \(Y/X\) 均非空，则将 \(Y\) 分裂成两部分。\(A\) 即为分裂其它等价类所用的证据。考虑维护所有证据 \(A\)，以及对应的 \(X\)，每次找到满足条件的 \(Y\) 分裂成 \(U\) 和 \(V\)。此时的 \(Y\) 有两种情况，一种是 \(Y\) 还未作为证据使用，此时 \(U\) 和 \(V\) 共同作用可以替代 \(Y\)；若 \(Y\) 已经作为证据使用，可以证明 \(U\) 和 \(V\) 任取一个作为证据即可，我们取大小较小的那个作为证据。

一个状态最多 \(O(\log n)\) 次被作为证据使用，因此若能快速处理 \(Y\)，时间复杂度为 \(O(n|\sum|\log n)\)。考虑找出 \(X\) 后，枚举所有与其有交的等价类 \(Y\)，若 \(|Y\cap X|\) 较小，则将 \(|Y\cap X|\) 单独取出，原集合 \(Y\) 不变，下一次访问到的时候重构。否则意味着暴力处理 \(Y\) 的时间复杂度至多为 \(O(|X|)\)，总时间复杂度 \(O(n|\sum|\log n)\)。对于随机生成的 DFA，时间复杂度能达到 \(O(n|\sum|\log\log n)\)。

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研究 DFA 在 OI 中的应用。

我曾经认为 DFA 在 OI 中没有任何应用，直到我没有做出来 abc 的 DFA 题。

作者好菜啊，学过的东西都做不出来，听说就这个水平还在天天摆烂，这种人要是进省队是对 OI 的不尊重。

GYM102586J

这题是 AGC022E 的加强版，将连续三个字符替换为某个字符，问是否能变成 \(1\)。

首先声称，所有好的字符串构成了一个正则语言，证明这个东西是很困难的，但是我们可以证明一个弱一点的东西，所有长度不超过 \(B\) 的好的字符串构成了一个正则语言，其对应的最小 DFA 状态数不超过 \(b\)，根据 Myhill-Nerode 显然成立（等价类只有有限个）。

接下来我们完全地从 DFA 和 Myhill-Nerode 的角度去考虑问题。考虑这个 \(b\)，直接找到 \(b\) 不容易，但是判定 \(b\) 是容易的，找到所有长度 \(\leq b\) 的串构成的所有等价类，类似最小化 DFA 的过程，若 \(b+1\) 对应的等价类和 \(b\) 的等价类同构，那么 \(b\) 就是我们需要的。

在这个题目中 \(b\) 并不大，于是自动机的状态数也不大，那么只需要对不超过 \(b\) 的串按照等价关系合并和建出转移函数即可。看上去等价关系很难判断，但是我们有泵引理，利用泵引理只需检查总长不超过 \(b\) 的串，看上去非常优美啊！

实际上 \(b\) 取一个看上去很对的数即可。

P12294 [THUPC 2025 决赛] 一个 01 串，n 次三目运算符，最后值为 1（加强版）

多了一个构造。