二轮省集day4

\(80+0+25\)，感觉今天打的很戏剧性，暴露出了很多问题。

首先在 t1 上没有想到大家普遍的容斥做法，而是选择能做更强问题的二项式反演，后面进一步的 dp 很长一段时间只会 \(O(m^3)\)，经过对提交记录的随机抽样，发现很多人都通过了 t1 \(80\) 分。由于对 t2 没有任何头绪，接下来选择去看 t3，利用一些观察到的结论刻画成了将一张不含 \(K_{\ge 4}\) 的图分成三个完全子图的方案数，很快会了一个建反图的多项式复杂度做法，可惜是假的，索性根据这个结论写了个搜，感性理解复杂度不会很高，可惜只能过前两档，在开场三个半小时才获得本场比赛的第一分。

此时好像身边所有人都过了 t1 \(80\) 分。于是我不断 push 自己去做 t1，最后根据一些点边容斥获得了一个 \(O(m^2)\) 的 dp，写完以后获得了该场的分数。t2 暴力没写完。

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还是在把省集当作能看见榜的 IOI 赛制在打，不应该通过随机抽样提交记录 判断自己当前的分数处于什么水平。这错完了，对策略没有任何训练。一些东西还是想不到 simple 的做法。

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挂一下 t1 做法。将 \(i\) 和 \(m-i\) 和 \(m+1-i\) 连边，不难发现这是一个有 \(m\) 个点的链，于是问题就变成了整个序列不包含链上任意一条边的方案数。记 \(f_i\) 代表整个序列上包含恰好 \(i\) 条边的方案数，\(g_i\) 代表钦定 \(i\) 条边需要被选中的方案数。实际上这和容斥是一样的，只不过二项式反演能做的问题更强罢了。

\[g_x=\sum\limits_{i=x}^{m-1}\binom{i}{x}f_i \]

于是求出 \(g_i\) 就可以二项式反演求出答案了。\(g_i\) 显然和连通块数相关，设 \(1\sim m\) 被分成了 \(k\) 个大小大于 \(1\) 的连通块，则 \(g_i=s_{i,k}\times 2^k(n-i-1+k)!\)。直接在链上 dp 可以做 \(O(m^3)\)。然后我花费了非常长的时间才观察到阶乘的式子错了，应该为 \(g_i=s_{i,k}\times 2^k(n-i)!\)，实际上是最基本的点边容斥。定义一个方案的权值为 \(2^k\)，观察到 \(k\) 就是为该条边选且前一条边不选的边的数量，直接 dp 即可做到 \(O(m^2)\)。

唉这个思路理应很自然的，但是式子错了导致很长时间都不会做。