对方打出手牌，积

前提：函数有界。\(\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\Delta x\times f(c)\)。

为了方便，记当 \(a>b\) 时，\(\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\)。不难发现 \(\int_a^af(x)dx=0\)。

• 连续可积。

• 有界且有有限个间断点可积。

\(\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx\)。

\(\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\)，称作积分的区间可加性。

一切从定积分的几何意义出发都是好理解的。

对于 \(f(x)\le g(x)\)，\(a\le b\)，则 \(\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx\)。

对于 \(a\le b\)，\(|\int_a^b f(x)dx|\le\int_a^b|f(x)|dx\)。不从几何角度证明的话就是考虑 \(-|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|\)，对两边同时求积分即可。

对于 \(a\le b\)，设其有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)，有 \(m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a)\)，同样是对不等式两边求积分即可。

定积分中值定理：对于 \(a\le b\)，设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则存在 \(c\in [a,b]\)，\(\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)\)。

根据 \(m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a)\) 得到 \(m\le\frac1{b-a}\int_a^b f(x)dx\le M\)，由于函数连续，根据介值定理能取遍 \(m\sim M\)，定理成立。

定义积分上限函数，若原函数 \(f(x)\) 在区间上连续，则积分上限函数 \(p(x)\) 连续且可导，导数为 \(f(x)\)。

考虑积分上限和下限若为关于 \(x\) 的函数 \(\int_{h(x)}^{g(x)}f(x)dx\)，对其求导，用稍后提到的牛顿——莱布尼茨公式即可。

若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(F(x)\) 是其在 \(f(x)\) 的一个原函数，则有 \(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)。为牛顿——莱布尼茨公式。将定积分和不定积分联系了起来。

回到上文所说的问题 \((\int_{h(x)}^{g(x)}f(x)dx)'\)，设 \(F(x)\) 为其一个原函数，有 \(\{F[g(x)]-F[h(x)]\}'\)，回顾求导的链式法则 \(f[u(x)]'=f'[u(x)]u'(x)\)，亦可写作 \(\frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}\)，得到 \(f'[g(x)]g'(x)-f'[h(x)]h'(x)\)。

加深一下对不定积分换元积分法的理解。第二类换元法的式子是 \(\int f(x)dx=\{\int f[u(t)]u'(t)dt\}_{t=u^{-1}(x)}\)，其微分形式考虑将 \(x\) 换元成 \(x=u(t)\)，进而有 \(dx=du=u'(t)dt\)，最后将 \(t\) 换回来即可。

第一类换元法更易理解一点，\(\int f[u(x)]u'(x)dx=[\int f(t)dt]_{t=u(x)}\)。直接将 \(u(x)\) 换元成 \(t\) 即可。

定积分的第一类换元法要求 \(u(a)=\alpha\)，\(u(b)=\beta\)，且在 \([\alpha,\beta]\) 或 \([\beta,\alpha]\) 上单调，同时具有连续导数，则 \(\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[u(t)]u'(t)dt\)。微分形式同不定积分的第一类换元法，\(\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(u(x))du\)。不过直接对定积分讨论微分是不太合适的，其定义中指的是黎曼和的极限，\(dx\) 也并非微分记号。实际上根据牛顿——莱布尼茨定理，定积分相当于 \(dF\) 的无限累计，即为 \(F(b)-F(a)\)。

回顾小学/初一/初二数学教给我们的换元法，大多是直接对某个关于 \(x\) 的多项式替换成 \(t\)，这实际上就是将原函数变成了 \(f[u(t)]\) 的形式，知道了这点以后对于下面的题目可能更好理解。

1. 求 \(\int_0^8\frac{dx}{1+\sqrt[3] x}\)。

令 \(u(t)=t^3\)，此时满足第一类换元法的条件。\(f[u(t)]=\frac{dt}{1+t}\)。同时 \(u'(t)=3t^2\)，有原式为 \(\int_0^2\frac{3t^2}{1+t}dt=3\int_0^2\frac{t^2-1+1}{1+t}=3\int_0^2(t-1+\frac1{t+1})dt\)。直接根据基本定积分和牛顿——莱布尼茨公式做即可。

2. 求 \(\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\)，其中 \(a>0\)。