对方打出手牌，洛

当 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在趋于 \(x_0\) 时极限都为 \(0\)，且函数在 \(x_0\) 的某个去心邻域内可导，同时 \(g'(x)\neq0\)，若 \(\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷，则有 \(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。

不妨钦定 \(f(x_0)=g(x_0)=0\)，由于 \(x_0\) 处的取值不影响极限因此可以这么定义。此时函数在某邻域内连续且可导（可导一定连续），根据柯西定理容易证明原定理。

柯西定理的前提：函数在闭区间连续，在开区间可导，分母不为 \(0\)。

使用的时候注意需要保证为 \(\frac00\) 型不定式且可导。

对于 \(\frac\infty\infty\) 不定式具有完全相同的结论。证明参考《数学分析》。

1. 求 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。

连续两次使用洛必达法则可以得到 \(\lim\frac{\sin x}{6x}\)，存在重要极限 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1\)，答案为 \(\frac16\)。

重要极限 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x\) 也可以用洛必达法则简单得到。

回顾另一个重要极限 \(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e\)。

回顾常见等价无穷小 \(a^x-1\sim x\ln a\)，\((1+x)^a-1\sim ax\)。

2. 求 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^{\lambda x}}\)。

回顾指数函数求导 \(f'(x)=a^x\ln a\)。

连续使用 \(n\) 次洛必达法则即可得到 \(0\)。

实际上该题 \(n\) 是正数即成立，直接将 \(x\) 移到分母上即可。