求极限求魔怔了

省集 day3t1，从等比数列求和开始推答案式子推了两个小时。我觉得是个正常人都能在十分钟以内看出这个东西，很遗憾，我推了两个小时，学极限学的。

考虑排列固定，前 \(i\) 个挑战的期望时间为 \(f_i\)，有：

\[f_{i+1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(k+1)(f_i+c_{i+1})\times p_{i+1}(1-p_{i+1})^k \]

令 \(d=f_i+c_{i+1}\)，\(y=1-p_{i+1}\)。将这个级数求和分成两部分：

\[f_{i+1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}k\times d\times p_{i+1}\times y^k+\sum\limits_{k=0}^{\infty}d\times p_{i+1}\times y^k \]

回顾一下等比数列求和 \(\sum\limits_{k=0}^x aq^k\)，十分经典的套路（我为啥没背过啊，场上现推这个）：

\[S_k=\sum\limits_{i=0}^k aq^i \]

\[qS_k=S_{k+1}-a=S_k+aq^{k+1}-a \]

\[S_k=\frac{a(q^{k+1}-1)}{q-1} \]

当 \(k\to\infty\) 时，上式显然收敛成 \(\frac a{1-q}\)。接下来考虑上面 \(f_{i+1}\) 的表达式的前半部分，把无关常数扔到外面，实际上要求的就是这个级数：

\[T_k=\sum\limits_{x=0}^{k}xy^x \]

按照等比数列求和的套路，不妨令 \(F_k=\sum\limits_{j=1}^k y^j\)：

\[T_k\times y+F_{k+1}=T_k+(k+1)y^{k+1} \]

\[T_k=\frac{(k+1)y^{k+1}-F_{k+1}}{y-1} \]

考虑 \(k\to\infty\) 时该式的极限，赛时实在不会对 \((k+1)y^{k+1}\) 求极限了，打个表后直接钦定了极限为 \(0\)。则得到：

\[T_k=\frac{\frac1{1-y}-1}{1-y} \]

因此表达式前半部分已经得到了 \(d(\frac1{p_{i+1}}-1)\)，后半部分类似得到 \(d\)，最后整个式子就是 \(\frac d{p_{i+1}}=\frac{f_i+c_{i+1}}{p_{i+1}}\)。

上面实际上就是在证明经典结论：做一件成功率为 \(p\) 的事件，期望尝试次数为 \(\frac1p\)。很遗憾，推完以后我才想起来这个结论。

笨，笨，笨！