真假诺即是唯一假神

大家好，今天是我的十五岁生日，在刚刚我推出了泰勒公式（泰勒展开）的证明，当作生日礼物写在这里！接下来我将演示我的民科证明。

同济大学《微积分》一书中只给出了 \(n=1\) 情况的证明，我的证明将会仿效书中的证明。为了直观，本文将会尽量少的使用 \(\sum\)。

泰勒公式：设函数 \(f(x)\) 在某个包含 \(x_0\) 的开区间存在直到 \(n+1\) 阶导数，那么对于开区间中的 \(x\)，有：

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}2(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n \]

其中 \(R_n=\frac{f^{(n+1)}(\delta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) 为拉格朗日型余项，\(\delta\) 是介于 \(x\) 和 \(x_0\) 中的数。

证明需要的基本微积分知识

罗尔定理：对于在 \([a,b]\) 上连续且在 \((a,b)\) 上可导的函数 \(f(x)\)，若 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=0\)。

证明：函数的局部最值导数为 \(0\)（利用函数极限局部保号性简单证明）。

令 \(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}2(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，我们只需证明存在 \(\delta\) 使得 \(Q(x)=f^{(n+1)}(\delta)\)。

构造函数：

\[\varphi(t)=f(x)-f(t)-f'(t)(x-t)-\frac{f''(t)}2(x-t)^2-\dots-\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n-\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1} \]

为了下文方便，我们将其写成 \(\varphi(t)=f(x)-\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}\)。注意此处 \(x\) 是常数。

当 \(t=x\) 时，\(\varphi(t)=0\) 显然成立。当 \(t=x_0\) 时，\(\varphi(t)=0\) 同样成立。证明考虑 \(f(x)\) 减去的实际上就是我们上文 \(f(x)\) 的表现形式。根据罗尔定理，存在介于 \(x\) 和 \(x_0\) 的数 \(\delta\)，使得 \(\varphi'(\delta)=0\)（\(\delta\) 不会取到 \(x\) 和 \(x_0\)）。

我们对 \(\varphi(t)\) 大力求导：

\[\varphi'(t)=-[\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i]'-[\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}]' \]

首先对于几个基本组成部分求导：

\[[(x-t)^i]'=-i(x-t)^{i-1} \]

\[[\frac{f^{(i)}(t)}{i!}]'=\frac{f^{(i+1)}(t)}{i!} \]

\[[\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i]'=\frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{f^{(i)}(t)}{i!}\cdot i(x-t)^{i-1} \]

此时我们有 \([\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i]'=\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{f^{(i)}(t)}{i!}\cdot i(x-t)^{i-1}\)，这个式子显然是可以化简的。考察 \(1\le i+1\le n\)，有关 \(f^{(i+1)}(t)\) 的式子为 \(\frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{f^{(i+1)}(t)}{(i+1)!}\cdot(i+1)(x-t)^i=0\)。因此我们只需关于 \(f^{(0)}(t)\) 和 \(f^{(n+1)}(t)\)，前者同样为 \(0\)，后者为 \(\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\)。总结一下，我们干的事情是：

\[[\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i]'=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \]

后面的部分是简单的，由于我们将 \(x\) 和 \(Q(x)\) 都视作了常数，\([\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}]'\) 可以简单化简为 \(-\frac{Q(x)}{(n+1)!}\cdot(n+1)(x-t)^n=-\frac{Q(x)}{n!}(x-t)^n\)。

此时整个式子就已经很明确了：

\[\varphi'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n+\frac{Q(x)}{n!}(x-t)^n=\frac{(x-t)^n}{n!}[Q(x)-f^{(n+1)}(t)] \]

上文提到 \(\varphi'(\delta)=0\)，由于 \(\delta\neq x\) 且 \(n!\neq0\)，所以自然有 \(Q(x)-f^{(n+1)}(\delta)=0\to Q(x)=f^{(n+1)}(\delta)\)，其中 \(\delta\) 介于 \(x\) 和 \(x_0\) 之间。

\(Q.E.D.\)