真假诺即是唯一假神
大家好,今天是我的十五岁生日,在刚刚我推出了泰勒公式(泰勒展开)的证明,当作生日礼物写在这里!接下来我将演示我的民科证明。
同济大学《微积分》一书中只给出了 \(n=1\) 情况的证明,我的证明将会仿效书中的证明。为了直观,本文将会尽量少的使用 \(\sum\)。
泰勒公式:设函数 \(f(x)\) 在某个包含 \(x_0\) 的开区间存在直到 \(n+1\) 阶导数,那么对于开区间中的 \(x\),有:
其中 \(R_n=\frac{f^{(n+1)}(\delta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) 为拉格朗日型余项,\(\delta\) 是介于 \(x\) 和 \(x_0\) 中的数。
证明需要的基本微积分知识
罗尔定理:对于在 \([a,b]\) 上连续且在 \((a,b)\) 上可导的函数 \(f(x)\),若 \(f(a)=f(b)\),则存在 \(c\in(a,b)\) 使得 \(f'(c)=0\)。
证明:函数的局部最值导数为 \(0\)(利用函数极限局部保号性简单证明)。
令 \(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}2(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\),我们只需证明存在 \(\delta\) 使得 \(Q(x)=f^{(n+1)}(\delta)\)。
构造函数:
为了下文方便,我们将其写成 \(\varphi(t)=f(x)-\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}\)。注意此处 \(x\) 是常数。
当 \(t=x\) 时,\(\varphi(t)=0\) 显然成立。当 \(t=x_0\) 时,\(\varphi(t)=0\) 同样成立。证明考虑 \(f(x)\) 减去的实际上就是我们上文 \(f(x)\) 的表现形式。根据罗尔定理,存在介于 \(x\) 和 \(x_0\) 的数 \(\delta\),使得 \(\varphi'(\delta)=0\)(\(\delta\) 不会取到 \(x\) 和 \(x_0\))。
我们对 \(\varphi(t)\) 大力求导:
首先对于几个基本组成部分求导:
此时我们有 \([\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i]'=\sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{f^{(i)}(t)}{i!}\cdot i(x-t)^{i-1}\),这个式子显然是可以化简的。考察 \(1\le i+1\le n\),有关 \(f^{(i+1)}(t)\) 的式子为 \(\frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i-\frac{f^{(i+1)}(t)}{(i+1)!}\cdot(i+1)(x-t)^i=0\)。因此我们只需关于 \(f^{(0)}(t)\) 和 \(f^{(n+1)}(t)\),前者同样为 \(0\),后者为 \(\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\)。总结一下,我们干的事情是:
后面的部分是简单的,由于我们将 \(x\) 和 \(Q(x)\) 都视作了常数,\([\frac{Q(x)}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}]'\) 可以简单化简为 \(-\frac{Q(x)}{(n+1)!}\cdot(n+1)(x-t)^n=-\frac{Q(x)}{n!}(x-t)^n\)。
此时整个式子就已经很明确了:
上文提到 \(\varphi'(\delta)=0\),由于 \(\delta\neq x\) 且 \(n!\neq0\),所以自然有 \(Q(x)-f^{(n+1)}(\delta)=0\to Q(x)=f^{(n+1)}(\delta)\),其中 \(\delta\) 介于 \(x\) 和 \(x_0\) 之间。
\(Q.E.D.\)