3.18闲话

尝试提高积分水平，但是我咋连教材求极限的例题都不会做。

搬几个例题，唯一难点在于因式分解。不保证是对的，错了请肆意抨击我。

求 \(\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^2+2x+2}{x^2+1}\)。

\(\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^2+2x+2}{x^2+1}=\frac{\lim\limits_{x\to-1}x^2+2x+2}{\lim\limits_{x\to-1}x^2+1}=\frac12\)。

求 \(\lim\limits_{x\to2}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}}\)。

\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}}=\frac{\lim\limits_{x\to 2}x-2}{\lim\limits_{x\to2}\sqrt{x+2}}=0\)。

求 \(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\)。

\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{x+1}=0\)。

求 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x}\)。

\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-\frac1{x^2}}{2-\frac1x}=\frac12\)。

求 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+x}{x^4-x+1}\)。

\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+x}{x^4-x+1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x^2}+\frac1{x^3}}{1-\frac1{x^3}+\frac1{x^4}}=0\)。

求 \(\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\)。

\(\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}h=\lim\limits_{h\to0}2x+h=2x\)。

搬笔记中的一个定理。

定理 1.4.2

该定理揭示了极限运算的线性性。以下默认自变量在同一变化过程中，定理内部默认函数存在极限。

\(\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)\)，证明：

设 \(A=\lim f(x)\)，\(B=\lim g(x)\)，有 \(f(x)=A+\alpha\)，\(g(x)=B+\beta\)，其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 时无穷小。则 \(f(x)\pm g(x)=(A\pm b)+(\alpha\pm\beta)\)，由于 \(\alpha\pm\beta\) 是无穷小，因此 \(f(x)\pm g(x)\) 有极限 \(A+B\)。

\(\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x)\times\lim g(x)\)，证明：

依然设 \(A=\lim f(x)\)，\(B=\lim g(x)\)，有 \(f(x)=A+\alpha\)，\(g(x)=B+\beta\)，则 \(f(x)g(x)=AB+A\beta+B\alpha+\alpha\beta\)，后三项均为无穷小，因此 \(\lim[f(x)g(x)]=AB\)。

若 \(\lim g(x)\neq 0\)，则 \(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\)，证明：

根据有极限函数的局部保号性不难发现该定理良定义。与上文做一样的设置，由 \(\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x)\times\lim g(x)\)，只需证明 \(\lim\frac1{g(x)}=\frac1{\lim g(x)}\)，\(\frac1{g(x)}=\frac1{B+\beta}=\frac1B-\frac\beta{(B+\beta)B}\)。我们只需证明 \(\frac\beta{(B+\beta)B}\) 是无穷小即可，这可以通过证明 \(\frac1{(B+\beta)B}\) 有界。显然该函数存在极限 \(\frac1{B^2}\)，根据有极限函数的有界性，\(\frac1{(B+\beta)B}\) 有界。

根据上述三条性质，可以得到 \(\lim[\lambda f(x)+\mu g(x)]=\lambda\lim f(x)+\mu\lim g(x)\)。可以推广到任意有限多个函数的情况。同时定理对于数列极限同样适用。

再搬一个。

定理 1.4.3

对于 \(\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=A\)，\(\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u_0\)，且在 \(x_0\) 的某个去心邻域内 \(u(x)\neq u_0\)。则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f[u(x)]=A\)。证明：

对于 \(\epsilon\)，存在正数 \(\eta\) 使得 \(\forall0<|u-u_0|<\eta,|f(u)-A|<\epsilon\)。存在正数 \(\delta_1\)，使得 \(\forall0<|x-x_0|<\delta_1,|u(x)-u_0|<\eta\)。存在正数 \(\delta_2\)，使得 \(\mathring{U}(x_0,\delta_2)\) 内 \(u(x)\neq u_0\)，取 \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\) 即可。

类似地，对于 \(\lim\limits_{u\to\infty}f(u)=A\)，\(\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=\infty\)，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f[u(x)]=A\)。常被用来简化极限的运算。

好了，大家的水平已经比我高了。