关于 cxy 论文中另一个结论的证明

该结论可以通过线性代数中的经典结论推导得到，不过还是在此处给予证明。

cxy 在 5.1 中对于带删线性基的说明中暗含“标准基线性无关”这一观点，从线性代数角度出发来证明这一事实。

回顾向量组秩的定义，为其极大线性无关组的大小，记为 \(\operatorname{rank}(a)\)。首先证明，若 \(b\) 能被 \(a\) 线性表出，则 \(\operatorname{rank}(b)\le\operatorname{rank}(a)\)。设 \(r=\operatorname{rank}(a)\)，\(s=\operatorname{rank}(b)\)，则考虑 \(a\) 的极大线性无关组张成的空间，显然 \(b\) 的极大线性无关组是该空间的一个子集，根据 Steinitz 替换定理，\(s\le r\)。

有关 Steinitz 替换定理的说明详见 此处。

回到原问题，显然线性基能被标准基线性表出（标准基也能被线性基线性表出），同时由于线性基线性无关，因此不难得到标准基秩的大小等于线性基的大小，两者大小相等，因此标准基线性无关。