可并堆

堆

这里给出插入的过程，以大根堆为例：每次若叶子那层的点数不满，则插入到紧接着的下一个点，此时可能不满足条件，向上调整。

删除：直接交换根和叶子然后删掉，将新根向下调整（从两个儿子中选择较大的一个拉上来）。

左偏树

非常神奇的东西，莫名其妙的复杂度就对了。

考虑对于二叉树，定义外节点是儿子不满的节点（即儿子数量小于两个），一个节点的 \(dist\) 为到子树中最近的外节点经过的边数，空节点的 \(dist\) 为 \(0\)。

左偏树是一个堆（显然为二叉树），同时满足，左儿子的 \(dist\) 不小于右儿子的 \(dist\)，因此一个节点的 \(dist\) 就是右儿子的 \(dist+1\)。\(dist\) 有一个非常重要的性质，\(n\) 个点的二叉树的 \(dist\) 为 \(O(\log n)\)，考虑至少有 \(2^{dist-1}\) 层是满的。

合并

非常神秘的对于 \(dist\) 的势能分析。

考虑合并的时候取出两个堆中优先级更高的根作为新根，然后左儿子不变，右儿子递归合并，若合并后不满足“左偏”性质则交换左右儿子。时间复杂度为 \(O(\log n)\)，考虑每次递归两个堆至少有一个的 \(dist\) 会减小 \(1\)。

删除任意节点

合并左右儿子，然后向上调整，该过程时间复杂度为 \(O(\log n)\)。注意若满足则立即结束向上调整过程。

标记

可以打标记。