uoj671 诡异操作

这是经典套路吗？为什么胡策的题解里全是“应用 uoj671 的经典套路”这种话？

下文令 \(w=128\)。

一个很经典的分析是每个数至多会被操作 \(O(w^2)\) 次就会变成 \(0\)。因此若直接线段树维护是 \(O(nw^2\log n)\)。考虑特殊性质，我们声称对于 sub2 和 sub4（两个特殊性质），这种做法的复杂度为 \(O(nw+q\log n)\)。

考虑对于线段树上的每一个节点，完全包含节点维护区间的修改数只有 \(O(w)\) 个。因此相较于普通的带标记的线段树，每个节点只会额外贡献 \(O(w)\) 的代价，根据总节点数为 \(O(n)\)，不难得到 \(O(nw+q\log n)\) 的时间复杂度分析。

期望得分 \(55\) 分。

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考虑在线段树上打标记，除法打标记看上去很难维护，我们对与操作打标记，具体来说，每个节点上维护一个长为 \(w\) 的数组，第 \(i\) 位代表区间内有多少的二进制包含 \(2^i\)。信息合并的时间复杂度为 \(O(w)\)。这样一次询问的时间复杂度就是 \(O(w\log n)\)，对于一次操作二，我们维护懒标记代表将某些位置全部变成 \(0\)，这样操作二的复杂度为 \(O(w\log n)\)。对于操作一，像上文一样暴力做，这样遍历到的节点数量为 \(O(nw+q\log n)\)，总时间复杂度 \(O(nw^2+qw\log n)\)。

期望得分 \(55\) 分。

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上述做法的问题在于信息合并/下放的复杂度太大。考虑上面做法中长为 \(w\) 的那个数组，如果将其列成一个表格的话（每行存储数组中每个数的二进制位），可以发现表格大小是 \(\log n\times w\) 的，这启发我们对表格“转置”，即用 \(\log n\) 个数维护每一列，这样标记上传不难直接模拟加法做到 \(O(\log n)\)，标记下放等价于将某几行的数清零，也可以压位之后 \(O(\log n)\) 解决。算答案的话可以对于每个询问支付额外的 \(O(w)\) 的代价或者其它方法解决。

考虑一下时间复杂度，不难发现就是上面做法中的标记合并/下放变成了 \(O(\log n)\)，因此时间复杂度为 \(O(nw\log n+q\log n^2)\)。不过可以分析到更低一步的复杂度，注意到标记合并/下放的复杂度为 \(O(\log len)\) 而并非 \(O(\log n)\)（\(len\) 为该区间长度），而 \(\sum \log n\) 这类式子可以分析到 \(O(n)\)，因此总时间复杂度 \(O(nw+q\log n^2)\)，从不同实现出发可能会有 \(O(nw+q\log n^2+qw)\) 的时间复杂度。

期望得分 \(100\) 分。