Relation&Group&Permutation&Ring&Linear Algebra

主要是进行一些概念的复习。

参考资料：浅谈置换群计数。

Relation

称若干个元素构成集合，当且仅当满足不重、无序。记 \(a\in A\) 代表 \(a\) 存在于集合 \(A\) 中，\(a\notin A\) 代表 \(a\) 不存在于集合 \(A\) 中。

定义集合 \(A\) 和 \(B\) 的笛卡尔积为 \(\{(a,b)|a\in A,b\in B\}\)，记作 \(A\times B\)。

对于集合 \(A\times A\) 的每一个子集 \(R\)，称 \(R\) 为 \(A\) 上的一个关系。若 \(a\in A,b\in B,(a,b)\in R\)，则称 \(a\) 和 \(b\) 有关系 \(R\)（不可交换），记作 \(aRb\)。

equivalence relation

称 \(R\in A\times A\) 为等价关系，当且仅当：

1. 自反性，\(\forall a\in A\)，\(aRa\)。

2. 对称性，\(\forall a,b\in A\)，\(aRb\rightarrow bRa\)。

3. 传递性，\(\forall a,b,c\in A\)，\(aRb,bRc\rightarrow aRc\)。

将这种关系 \(R\) 记作 \(\sim\)。

equivalence class

对于 \(A\) 上的等价关系 \(\sim\)，\(\forall a\in A\)，将 \([a]\) 记作 \(a\) 所在等价类构成的集合，即：

\[[a]=\{b|b\in A,a\sim b\} \]

对于等价关系 \(\sim\)，显然 \(a\in A\) 不可能在多个等价类里，将所有等价类中取出一个元素，组成的集合称作 \(A\) 的完全代表系。同时 \(\sim\) 给出了 \(A\) 上的一个划分。

Group

对于集合 \(G\)，称 \(G\) 上的二元运算 \(*\) 是一个函数 \(*(G,G)\rightarrow G\)。

\(*\) 本身没有任何强制的要求。

• 若 \(\forall a,b\in G\)，\(a*b=b*a\)，则称 \(*\) 具有交换律，结合律类似。

• 若对于 \(H\in G\)，\(\forall a,b\in H\)，\(a*b\in H\)，则称 \(H\) 在 \(*\) 下封闭。

对于集合 \(G\)，及我们规定在其上的二元运算 \(*\)（这说明了 \(G\) 在 \(*\) 下封闭），若满足以下性质：

1. 结合律。

2. 存在单位元 \(e\)：\(e*a=a*e=a\)。

3. 存在逆元。

则 \((G,*)\) 称作群。\(G\) 的大小称为群的阶，上述三条作为群公理，群公理 \(2\) 保证了 \(G\) 非空。若 \(G\) 是有限集，则 \((G,*)\) 为有限群。

由群公理，能得到一个群的单位元唯一，考虑若存在两个单位元 \(e_1\) 和 \(e_2\)，则 \(e_1=e_2\)，代数结构下将两者视为同一个元素。

---

对于群 \((G,*)\)，若 \(*\) 存在交换律，则称该群为阿贝尔群。

以下的 \(*\) 和 \(+\) 均不代表数学乘法/加法，而是两种定义在 \(G\) 上的运算，按照习惯，将 \(*\) 的单位元写作 \(1\)，逆元写作 \(a^{-1}\)，\(+\) 的单位元写作 \(0\)，逆元写作 \(-a\)，其余 \(a^x,ax\) 等均遵习惯。

Group Calc

群 \(G\) 和群 \(H\) 的直积定义为 \((G,\times_G)(H,\times_H)\rightarrow ((G\times H),\times)\)，其中 \(\times:(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)\rightarrow (g_1\times_G g_2,h_1\times_H h_2)\)，两个群在新群的运算下仍然存在一定的封闭性。

Abel Theorem

有限生成阿贝尔群基本定理。

令 \(C_i\) 代表 \(i\) 阶循环群，定理断言，有限生成的阿贝尔群 \(G\) 必然可以分解为有限个循环群的直积，具体形式为：

\[G=C_{\infty}^r\times C_{n_1}\times C_{n_2}\times\dots\times C_{n_s} \]

其中 \(r\) 唯一确定，为 \(|G|\)。对于 \(n_i\) 的刻画，存在两种形式：

1. 选取 \(n_1\ge 2\)，\(n_1|n_2|n_3|\dots|n_s\)，此时 \(n_i\) 唯一确定，称为 \(G\) 的不变因子。

2. 选取 \(n_i\) 为互不相同的素数幂（算术基本定理下的 \(p_i^{k_i}\)），此时 \(n_i\) 同样唯一确定，称为 \(G\) 的初等因子。

定理证明较为复杂，依赖 \((n,m)=1\rightarrow C_{nm}\cong C_nC_m\) 这一事实，略去。通过有限生成阿贝尔群基本定理，可以得到很多引理。

Homomorphisms and Isomorphisms

对于两个群 \((G,*)\) 和 \((H,+)\)，若存在映射 \(\varphi:G\rightarrow H\)，满足：

\[\varphi(xy)=\varphi(x)+\varphi(y) \]

则称两个群同态。群同态并不一定是单射，考虑三阶群 \((\{e,x,x^{-1}\},*)\) 和一阶群 \((\{e\},+)\)，两个群同态，但并非单射。若两个群同态的关系为单射，则说明 \(G\) 和 \(H\) 的某个子群同构。

若映射 \(\varphi\) 还是双射，则称两个群同构。同构的群具有完全相同的性质，因此同构的群只需研究一个即可。表示同构的符号为 \(\cong\)。

Group Actions

对于群 \((G,*)\) 和集合 \(A\)，称映射 \(G\times A\rightarrow A\) 是 \(G\) 在集合 \(A\) 上的群作用，当且仅当：

• 满足结合律。

• 单位元保持元素不动，即 \(a\in A\)，\(1a=a\)。

此处无二元运算存在，\(G\times A\) 指两集合的笛卡尔积。

subgroup、coset

对于群 \((G,*)\)，称 \(H\) 是其子群，当且仅当：

• \(H\) 是 \(G\) 的子集。

• \((H,*)\) 成群。

记作 \(H\le G\)。

对于 \(x\in G\)，记 \(xH\) 为 \(H\) 的一个左陪集，其中 \(xH=\{xh|h\in H\}\)，右陪集类似，显然 \(H\) 是自身的左右陪集。

对于群 \(G\) 及其子群 \(H\)，对 \(x,y\in G\) 定义关系 \(x\sim y\)，当且仅当 \(x\in yH\)，这是一个等价关系，请自行尝试证明。

由于这是等价关系，因此若 \(xH\) 和 \(yH\) 的交非空，则 \(xH=yH\)。同时可以根据该等价关系划分等价类，此之谓陪集分解。

注意对于陪集 \(xH\) 总有 \(x\in xH\)，因为 \((H,*)\) 为群，必然有 \(e\in H\)。

Lagrange’s Theorem

上文中已经体现出陪集一些优美的性质，简单归纳：

对于 \(y\in xH\)，\(xH=yH\)。

进一步强化该性质，我们有 \(|H|=|gH|\)。由群的消去律，得到 \(a\neq b\rightarrow ga\neq gb\)，该性质自然得到。因此这启示我们群 \(G\) 对 \(H\) 的所有陪集大小相等，都为 \(|H|\)。设 \(R\) 为对于 \(H\)，关系 \(x\sim y\) 的完全代表系，则 \(|G|=|R|\times |H|\)。

称 \(|R|\) 为群 \(H\) 对于群 \(G\) 的指数 \([G:H]\)，则得到拉格朗日定理：

\[|G|=[G:H]\times |H| \]

Permutation

一个集合的置换是映射到自身的双射。对于 \(n\) 阶排列，将其一个置换记作 \(\sigma(1),sigma(2),\dots,sigma(n)\)。置换可以复合，置换 \(f\) 和 \(g\) 的复合记作 \(fg\)。

研究置换 \(\sigma(i)\) 的性质，在 OI 中，我们熟知的是置换将排列分成若干个置换环，即 \(1\rightarrow\sigma(1)\rightarrow \sigma^2(1)\rightarrow\dots\)。因此我们可以用置换环的形式来表示一个置换，称作轮换表示法。

显然，任意置换的不交轮换分解是唯一的，存在构造性证明。

\(\sigma^t\)

考虑置换 \(f=(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))\)，尝试求其幂置换 \((\sigma^t(1),\sigma^t(2),\dots,\sigma^t(n))\)，\(\sigma^t(i)=\sigma^{t-1}(i)\)。

由于置换可以分解为若干不交轮换，对轮换求幂置换即可。考虑轮换 \((\sigma(a_0),\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_{n-1}))\)，显然 \(\sigma^t(a_i)=\sigma(a_{(i+t)\bmod n}\)，考虑此时求其轮换，即找到一个最小的正整数 \(k\) 使得 \(\sigma^{tk}(a_i)=a_i\)。不难得到：

\[i+tk\equiv i\pmod n \]

\[tk\equiv 0\pmod n \]

利用同余代数的知识，得到 \(k=\frac{n}{\gcd(n,t)}\)。这说明，\(\sigma^t\) 可以分解为 \(\gcd(n,t)\) 个长度为 \(\frac{n}{\gcd(n,t)}\) 的轮换，同时 \(a_i\) 所在轮换的第 \(j\) 个元素为 \(a_{(i+jt)\bmod n}\)，根据 \(i+jt\equiv i\pmod t\) 和 \((n,t)|t\)，得到 \(i+jt\equiv i\pmod (n,t)\)，因此轮换内所有元素下标在模 \((n,t)\) 意义下相同。

symmetric group

将置换复合运算记为 \(\circ\)，则所有 \(n\) 阶置换和 \(\circ\) 成群。单位元为恒等置换。称该群为 \(n\) 阶对称群，记为 \(S_n\)。

Caylay Theorem

群 \(G\) 同构于某一对称群。更具体地，设 \(n=|G|\)，则 \(G\) 同构于 \(S_n\) 的某个子群。

Oribt-Stabilizer Theorem

考虑一个群 \(G\)，和一个集合 \(M\)，进一步研究 \(G\) 对 \(M\) 的作用 \(\circ\)。

称集合 \(M\) 的子集 \(\operatorname{orb}_G(x)=\{\sigma\circ x|\sigma\in G\}\) 为 \(x\) 在 \(G\) 作用下的轨道。我们有等价关系 \(\sim\)：

\[x\in\operatorname{orb}_G(y) \]

尝试证明这是一个等价关系。

1. 自反性。根据群对集合作用的定义，\(\operatorname{1}x=x\)，因此具有自反性。

2. 对称性。考虑存在 \(\sigma\in G\)，使得 \(\sigma\circ y=x\)，由结合律，\(\sigma^{-1}\circ x=y\)，因此具有对称性。

3. 传递性。考虑 \(\sigma_1\circ y=x\)，\(\sigma_2\circ z=y\)，取 \(\sigma_3=\sigma_1\sigma_2\) 即可构造出传递性。

对其套用等价关系的理论，能得到一系列简单的结论，实际上，\(|\operatorname{orb}_G(x)|\) 就是在只考虑 \(x\) 时，\(G\) 中本质不同的元素数。

\(x\) 在群 \(G\) 的某些元素作用下可能保持不变，我们将 \(G\) 的子集 \(\operatorname{stab}_G(x)=\{\sigma|\sigma\in G,\sigma\circ x=x\}\) 称作 \(x\) 在群 \(G\) 作用下的稳定子。不难验证 \(\operatorname{stab}_G(x)\le G\)。

1. 封闭性。根据群对集合作用的结合律不难得到。

2. 结合律。显然具有结合律。

3. 单位元。\(G\) 的单位元 \(e\) 满足 \(e\in \operatorname{stab}_G(x)\)。

4. 逆元。

在之前的陪集划分中，我们得到了拉格朗日定理等良好的性质，现在我们想对稳定子这个子群做类似的陪集划分。

根据拉格朗日定理，\(|G|=|\operatorname{stab}_G(x)|\times[G:\operatorname{stab}_G(x)]\)，后者就是本质不同的陪集种数，这等价于 \(x\) 在 \(G\) 作用下本质不同的元素数，因此得到轨道-稳定子定理：

\[[G:\operatorname{stab}_G(x)]=|\operatorname{orb}_G(x)| \]

考虑严谨地证明这一定理。

取出 \(G\) 中对 \(\operatorname{stab}_G(x)\) 左陪集的完全代表元系 \(R\)，有 \(|R|=[G:\operatorname{stab}_G(x)]\)，构造映射 \(\varphi:\operatorname{orb}_G(x)\rightarrow R\)，\(gx\rightarrow g\operatorname{stab}_G(x)\)，也就是将 \(x\) 轨道中的每个元素映射到该元素和 \(x\) 稳定子的左陪集。可以证明 \(\varphi\) 为双射。

根据轨道-稳定子定理，不难得到 \(|G|=|\operatorname{orb}_G(x)|\times |\operatorname{stab}_G(x)|\)。

Burnside

上面提到轨道是等价类，而 Burnside 引理给出了求等价类数量 |M/G| 的方法，我们记 \(\operatorname{fix}_G(\sigma)=\{x|\sigma\circ x=x\}\) 作为 \(\sigma\) 的不动元，有：

\[\sum |\operatorname{fix}_G(\sigma)|=\sum |\operatorname{stab}_G(x)| \]

与此同时，我们还有 \(|M/G|=\sum\frac{1}{\operatorname{orb}_G(x)}\)，根据轨道-稳定子定理得到 \(|M/G|=\sum\frac{\operatorname{stab}_G(x)}{|G|}\)，进而可以得到 Burnside 引理：

\[|M/G|=\frac{1}{|G|}\sum|\operatorname{fix}_G(\sigma)| \]

在算法竞赛中可以由此得到 Polya 计数法。

Ring

环是一个形如 \((R,+,*)\) 的代数结构，要满足：

1. \((R,+)\) 是阿贝尔群。

2. \(*\) 有结合律。

3. 存在分配律。

4. 若 \(*\) 交换，则称为交换环。

5. 单位元定义在 \(*\) 上，可能不存在。

若 \((R,*)\) 成群，则 \((R,+,*)\) 称为除环，若 \((R,*)\) 为阿贝尔群，则为域。

Linear Algebra

线性空间是一个 \((V,+,*,P)\) 的代数结构。