你说得对，但是

关于区间分治信息维护的思考。

区间 \(N\)，标记 \(T\)，信息 \(D\)。

区间合并：\(N_0=N_1+N_2\)。

标记作用在区间上：\(N_0=N_0\times T\)。称为 \(apply(T\rightarrow N_0)\)。

从区间到信息的函数：\(f(N)=D\)。

标记的复合：\(T=T_0\times T_1\)。称为 \(compose(T_0,T_1)\)。

区间分治信息维护最暴力的做法就是 \(apply\) 和 \(f\)。

apply 是将题目的标记作用在区间上，f 是得到区间的某些信息。

我们考虑这么一种结构，将标记作用在信息上而非区间上，来降低复杂度。

即：\(apply(T\rightarrow D)\)。

考虑线段树这种结构需要满足什么。

• 区间复合的得到的信息等于信息的复合（f 对区间有分配律）

\(f(N=N_0+N_1)=f(N_0)+f(N_1)\)

例如，线段树 1 中的 f 即代表区间和，信息的复合方式为相加。

• 区间、信息、标记的合并都有结合律

区间显然有结合律。

信息的结合律：\(f(N=N_0+N_1+N_2)=f(N_0)+f(N_1)+f(N_2)=f(N_0)+(f(N_1)+f(N_2))\)。

标记的结合律？\(T_0T_1T_2=T_0(T_1T_2)\)。

标记的交换律并不是必要的。

• 标记对信息和区间都要有分配律

\(T(N_0+N_1)=TN_0+TN_1\)。

• 存在单位元标记 \(\omega\)。

• 对区间应用标记得到的信息等于对信息应用标记

这是区间分治信息维护能降低复杂度最重要的一点。

\(f(TN)=Tf(N)\)。

• 标记的复合是封闭的

区间分治信息维护的题目一般需要设计标记、标记的复合、信息的复合、标记对信息的应用。