linear algebra(1)

\(n\) 个未知数，\(n\) 个方程，证明多解必然是无数解。

考察 \(Ax=b\)，实际上无论几个未知数几个方程，多解都是无数解。

有解的条件是 \(b\) 落在 \(A\) 的列空间内。考察齐次方程 \(Ax=0\)，解必然是一个线性空间（零空间）。由于 \(b\) 落在 \(A\) 的列空间中，可以找到特解 \(x_p\)，对于零空间中的某个向量 \(x_h\)，\(x_p+x_h\) 是非齐次方程的解，且所有解都有如此的形式。因此 \(Ax=b\) 的解是一个仿射空间，为零空间沿着 \(x_p\) 平移得到的结果。

多解显然为无数解。