[3B1B]从三角函数到 GF

三角函数

高中数学必一第五章。

弧度制

通过数学知识可以证明，对于一个圆的圆心角 \(α\)，其所对的弧 \(l\) 与半径的比值 \(\frac{l}{r}\) 是确定的。

相应的，\(\frac{l}{r}\) 的确定也能确定 \(\alpha\)，因此我们建立弧度制：

\[|\alpha|=\frac{l}{r} \]

一个角是正角，当且仅当它的终边沿逆时针旋转得到，负角相反。

这样就将角的大小扩展到了实数域。

弧度制与角度制的转换

经过推理，不难发现 \(180°=\pi \operatorname{rad}\)。

三角函数的概念、

对于在圆上做圆周运动的一点 \(P\)，三角函数可以用来刻画其坐标的变化。

设 \(P\) 在单位圆上运动，其坐标为 \((x,y)\)，圆心角为 \(\alpha\)，则：

正弦函数

\[y=\sin \alpha \]

余弦函数

\[x=\cos \alpha \]

正切函数

\[\frac{y}{x}=\tan \alpha(x\ne 0) \]

不难发现，\(x=0\) 代表 \(\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，其中 \(k\in\mathbb{Z}\)，因此正切函数的条件相当于 \(\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\)。

诱导公式

我们并不需要太多的数学公式，由于诱导公式较容易推导，所以这里不再展开。

余弦定理

对于任一三角形，三边长为 \(a,b,c\)，设 \(a,b\) 的夹角是 \(\alpha\)，则：

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha \]

指数函数

指数

有理数指数幂

\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)，其中 \(m,n\in\mathbb{Q}\)。

无理数指数幂

无理数指数幂是一个确定的实数。它依然满足整数指数幂的运算性质。

平面向量

定义

既有大小又有方向的量。

注意，我们并不强调向量的起点，所以它并不是一个有向线段，我们只认为它表示大小和方向。因此在自由向量上，可以随意平移一个向量。记作 \(\vec{a}\)。

向量的大小称为模长，记作 \(|\vec{a}|\)。

运算

加法

点的加法没有意义。向量和点的加法得到另外一个点，向量和向量的加法得到另一个向量。

平行四边形法则

两个共起点的向量相加，得到的向量是以这两个向量为边的平行四边形的对角线。

三角形法则

多个向量 \(\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots\) 相加，且满足一个向量的起点是前一个向量的终点，则所得的向量是连接 \(\vec{a_1}\) 的起点和 \(\vec{a_n}\) 的终点。

在向量加法中，我们经常使用的是平行四边形法则，其满足三角形法则。

对于一个已知的平行四边形，其对角线长可以通过三角函数求解。

向量数乘

对于 \(\vec{b}=\vec{a}\times c\)，满足：

• \(|\vec{b}|=|\vec{a}|\times c\)。

• \(\vec{b}\) 的方向取决于 \(c\) 的正负性。

减法

两个点的差是一个向量，这不重要。

之所以先引入向量数乘，就是为了更好地理解向量减法。对于 \(\vec{a}-\vec{b}\)，得到地向量从 \(\vec{b}\) 的终点指向 \(\vec{a}\) 的终点。

这可以通过向量加法和向量数乘证明。

我们可以轻易得出向量 \(-\vec{b}\)，它是与 \(\vec{b}\) 共线等长，但方向相反的向量。

将 \(-\vec{b}\) 与 \(\vec{a}\) 做加法，不难得到答案 \(\vec{c}\)。利用初中的几何知识不难得到 \(\vec{c}\) 等于从 \(\vec{b}\) 的终点指向 \(\vec{a}\) 的终点的向量。

向量数除。

\(\frac{\vec{a}}{c}=\vec{a}\times\frac{1}{c}\)，这不重要。

平面向量基本定理

对于共面不共线的向量 \(\vec{e_1},\vec{e_2}\)，则存在唯一的 \((x,y)\)，使得与 \(\vec{e_1},\vec{e_2}\) 共面的任意向量 \(\vec{c}\) 满足 \(\vec{c}=x\times\vec{e_1}+y\times\vec{e_2}\)。

即我们可以用两个不共线的向量表示出所有向量。\(\vec{e_1},\vec{e_2}\) 被称为基底，若两者相互垂直，则分解时就是对向量正交分解。

平面向量的坐标表示

根据上文，我们令平行于 \(x\) 轴，模长为 \(1\) 的 \(\vec{e_1}\) 和与它垂直、平行于 \(y\) 轴，模长为 \(1\) 的 \(\vec{e_2}\) 作为基底。那么所有的向量都唯一可以用 \((x,y)\) 来描述。

显然，向量 \((x,y)\) 的模长为 \(\sqrt{x^2+y^2}\)，而方向可以通过三角函数确定。

平面向量的坐标运算

向量加法

设向量 \((m,n)\) 和 \((p,q)\)，直接运用平行四边形法则对其做加法是困难的，并且不易将其转移到坐标轴上来。考虑一种简单的方式，设基底 \(\vec{e_1}\) 的模长为单位向量 \(i\)，\(\vec{e_2}\) 的模长为单位向量 \(j\)，则根据定义，\((m,n)=m\times\vec{e_1}+n\times\vec{e_2}\)，\((p,q)=p\times\vec{e_1}+q\times\vec{e_2}\)，我们对 \(\vec{e_1}\) 和 \(\vec{e_2}\) 加以区分，得到 \((m+p)\times\vec{e_1}+(n+q)\times\vec{e_2}\)，即 \((m,n)+(p,q)=(m+p,n+q)\)。

向量数乘

与加法一样，\(k\times (m,n)=(km,kn)\)。

向量减法

\((m,n)-(p,q)=(m,n)+(-(p,q))=(m,n)+(-p,-q)=(m-p,n-q)\)。

坐标系上的点

求两点之间的向量

显然，对于 \((m,n)\) 和 \((p,q)\)，其所连向量为 \((p-m,q-n)\)。

平移一点

根据三角形法则，令平移的距离和方向组成 \(\vec{e}\)，则平移后的点为 \(\vec{OP}+\vec{e}\) 的终点。

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练习题

众所周知，重为 \(G\) 的物体放在斜面上，其重力有两个分力——一个与斜面平行且向下，一个与斜面垂直。

我们想求出当斜面的倾角为 \(\alpha\) 时，两个力的大小。

物理学中力可以视为向量，于是将其竖直向下的重力 \(G\) 视作一个向量，其模长为 \(G\)。两个分力同样可以视作向量，设分别为 \(\vec{e_1}\) 和 \(\vec{e_2}\)。于是要求 \(\vec{e_1}+\vec{e_2}=\vec{G}\)，我们可以沿 \(\vec{e_1}\) 做一个模长为单位向量的向量 \(\vec{p_1}\)，沿 \(\vec{e_2}\) 做模长为单位向量的 \(\vec{p_2}\)。

根据平面向量基本定理，存在唯一的 \((x,y)\) 使得 \(x\times\vec{p_1}+y\times\vec{p_2}=\vec{G}\)，所以 \(\vec{e_1}=x\times\vec{p_1}\) 和 \(\vec{e_2}=y\times\vec{p_2}\) 是唯一确定的。

至于如何求 \(|\vec{e_1}|\) 和 \(|\vec{e_2}|\)，我们可以将 \(\vec{G}\) 视作以 \(\vec{e_1}\) 和 \(\vec{e_2}\) 为边的矩形的对角线。最后不难得到 \(|\vec{e_1}|=\cos\alpha\times G\)，\(|\vec{e_2}|=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\times G\)。

复数

定义

虚数单位 \(i=\sqrt{-1}\)。

那么，一个复数就可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式，其中 \(a,b\in\mathbb{R}\)。当 \(b=0\) 时，这个复数就是实数。\(a\) 被称为实部（\(\operatorname{Re}(z)\)），\(b\) 被称作虚部（\(\operatorname{lm}(z)\)）。

复数集包括实数集和虚数集。

复平面

显然，一个复数 \(z=a+bi\) 可以用 \((a,b)\) 被唯一表示，因此我们建立复平面，\(x\) 轴为实轴，\(y\) 轴为虚轴。可以看出，复数集和复平面构成一个双射。

复数和平面向量的关系

由于复数和平面向量都可以被 \((x,y)\) 唯一表示，所以复数集同样和向量组成的集合构成双射。

称复数 \(z=a+bi\) 的模为向量 \((a,b)\) 的模，将单位向量视为一个单位，\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

由于平面向量无法比较大小，所以复数也无法比较大小。但是，虚部相同的复数可以比较大小。

复数的运算

复数的运算与向量相同。同时，我们也可以将 \(i\) 视作一个变量按照实数的规则进行运算。

复数乘法

按照多项式乘法的规则运算，最后化简 \(i^2=-1\) 即可。

即对于 \(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)，\(z_1\times z_2=(ac-bd)+(bc+ad)i\)。

复数除法

向量是没有除法的，但复数有。

对于 \(\frac{a+bi}{c+di}\)，我们可以乘 \((c-d_i)\) 以进行化简，不过没有什么用。

\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\times i\)。

共轭复数

相当于根式中的有理化因式。

\(z=a+bi\) 的共轭根式 \(\overline{z}=a-bi\)。显然，\(z\times\overline{z}=|z|^2\)，\(\overline{\overline{z}}=z\)。

辐角

请扶好站稳！！！

欧拉公式

\[e^{ix}=\cos x+i\sin x \]

【B站珂学原理】

复变函数

如何理解复变函数

中学阶段，我们学过实变函数。但是到了复变函数，我们只将实变函数当做复变函数在实数集上的一种特殊形式。复变函数和其在实数集上对应的实变函数定义可能截然不同，但是如果将实数代入复变函数中，我们仍然能得到与原来实变函数相同的结果。

复指数函数

欧拉公式本来是在实数域内的：\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)。

考虑对于复数 \(z=x+iy\) 的复指数函数 \(\exp z=e^x(\cos y+i\sin y)\)，套入欧拉公式得到 \(\exp z=e^{x+iy}\)。所以欧拉公式就被稀里糊涂地扩展到了复数域。

其满足最基本的性质：\(\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)\)。

单位根

定义

\(x^n=1\) 的解有 \(n\) 个，称为 \(n\) 次单位根。

单位根把单位圆 \(n\) 等分。证明略。

按照辐角大小对单位根排序，令得到的第二个单位根为 \(\omega_n\)，则 \(\omega_n=\exp\frac{2\pi i}{n}\)。所有的 \(n\) 个单位根可以表示为 \(\{\omega_n^k|k=0,1,\cdots,n-1\}\)。

性质

随着 \(k\) 的增大，\(\omega_n^k\) 的变化呈现周期性，具体地，\(\omega_n^{n+k}=\omega_n^k\)。

另外，\(\omega_n^k=\omega_{2n}^{2k}\)，\(\omega_{2n}^{k+n}=-\omega_{2n}^k\)。

本原单位根

集合 \(\{\omega_n^k|0\le k<n,\gcd(n,k)=1\}\) 中的元素为本原单位根。对于任意本原单位根 \(\omega\)，任意 \(0<k<n\)，\(\omega^k\ne 1\)。

全体本原单位根有 \(\phi(n)\) 个。

在 C++ 中定义复数

complex<type> x

FFT

原理

设 \(A(x)\) 是 \(n-1\) 次多项式，即 \(A(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_i\times x^i\)。我们想求出多项式乘法 \(A(x)\times B(x)\) 的结果，显然，这是一个 \((n-1)(m-1)\) 次多项式。

\(O(n^2)\) 的做法是简单的，并且是系数表示法的极限。

点值表示法

取 \(n\) 个不同的值 \(x_i\)，得到对应的 \(y_i\)，我们就得到 \(n\) 个点。这就是多项式的点值表示。

确定一个 \(n-1\) 次多项式的前提是有 \(n\) 个本质不同的点。这可以通过拉格朗日插值来实现。