P6006 [USACO20JAN]Farmer John Solves 3SUM G 题解

题目传送门。

善良的出题人已经在题面中告诉你了：

尚未发现运行速度比平方时间明显更优的解法。

而 $O(qn^2)$ 过不了，所以题目显然是让你以 $O(n^2)$ 进行预处理，再进行 $O(1)$ 查询。

思考在暴力 $O(n^3)$ 处理时，我们是以三元组 $(i,j,k)$ 进行三重循环，逐个检查是否 $s_i+s_j+s_k=0$。不妨对这个式子进行变换，可得 $s_k=-s_i-s_j$。这时利用桶统计 $[i,j]$ 中的 $-s_i-s_j$ 数量即可。

在面对 $q$ 次询问时，考虑 用 $v_{i,j}$ 表示区间 $[i,j]$ 中的结果。则有 $v_{i+1,j}$ 为区间 $(i,j]$ 中的结果， $v_{i,j-1}$ 为区间 $[i,j)$ 中的结果， $v_{i+1,j-1}$ 为区间 $(i,j)$ 中的结果。易得：

$$v_{i,j}=v_{i+1,j}+v_{i,j−1}−v_{i+1,j−1}+f_{i,j}$$

可惜的是这会导致你 MLE。应该把数组 $v$ 去掉，因为 $f$ 就可以了：

$$f_{i,j}=f_{i+1,j}+f_{i,j−1}−f_{i+1,j−1}$$

本题代码细节较恶心，故意跟数组过不去，应格外注意：

1. 查找 $-s_i-s_j$ 时要加上常数 $M$，因为数组不能访问负的，会数组越界。

2. $M$应该在 $10^6$ 以上，这是由于你后面要 $-s_i-s_j$，开的过小容易加后还是负数。

3. 桶应该开为 $2\times M$，如果较小可能会因为 $+M$ 而数组越界。

View code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define ri register int
#define il inline

const int N=5010,M=2e6+10;
int n,Q;
int s[N],b[M<<1];
ll f[N][N];

il ll read(){
    ll x=0,y=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')
            y=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*y;
}

il void work(){
	for(ri i=1;i<=n;i++){
		for(ri j=i+1;j<=n;j++){
			f[i][j]=b[M-s[i]-s[j]];
			b[s[j]+M]++;
		}
		for(ri j=i+1;j<=n;j++)
			b[s[j]+M]=0;
	}
	for(ri i=3;i<=n;i++){
		for(ri j=1;j<=n-i+1;j++){
			int k=i+j-1;
			f[j][k]+=f[j+1][k]+f[j][k-1]-f[j+1][k-1];
		}
	}
}

signed main(){
	n=read(),Q=read();
    for(ri i=1;i<=n;i++)
		s[i]=read();
	work();
	while(Q--){
		int a=read(),b=read();
		printf("%lld\n",f[a][b]);
	}
    return 0;
}