WD与积木

P5162 WD与积木

省略及其冗长难懂的题面，给出形式化题面：对于序列 \(\{1, 2, 3, \dots, n\}\)，将它分到若干个非空集合中，然后将这些非空集合排成一列。

求所有方案中集合的个数和除以总方案数。

我觉得这题最难的是看懂题。

直接把分子分母分开算。先考虑分母。

有标号，所以用 EGF 做。

显然一个非空集合的 EGF 是 \(e^x - 1\)。

然后集合是有序的。

所以是个幂级数。化简完后是

\[\frac 1{2 - e^x} \]

然后就把分母的 EGF 搞出来了。

分子呢？

集合数量的和。

首先每个非空集合提供的集合数量是 \(1\)，EGF 还是 \(e^x - 1\)。

枚举集合数量

\[\sum _{k} k(e^x - 1) ^ k \]

要推这个玩意的封闭形式了。

换元 \(z = (e^x - 1) ^ k\)

\[\sum_k kz^k \]

这玩意看起来可以看成是 \(\{0, 1, 2, \cdots\}\) 的 OGF。

前面那玩意是 \(\frac 1 {1 - z}\) 的累计求和右移一位，所以看起来是

\[\frac z {(1 - z) ^ 2} \]

把 \(z\) 代回去

\[\frac {e^x - 1} {(2 - e^x) ^ 2} \]

然后直接除一下。

做完了？

做完了。

要是我早把题看懂我早就做完了（暴论

但其实不是，在换元那一步卡了一会。