慢慢写 十二重计数法

\(n\) 球 \(m\)​ 盒。

谁家数学答题卡。

\(\text{I}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同。

每个球 \(m\) 种放法，\(n ^ m\)。

\(\text{II}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

\(n > m\) 则 \(0\)。

\[\binom {m}{n} n! = \frac{m!}{n!(m - n!)}n!=\frac{m!}{(m - n)!} \]

\(\text{III}\)​​​：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

\(n < m\) 则 \(0\)。

设第 \(i\) 个盒子装的球数是 \(cnt_i\)。

然后对于每种方案，向每个盒子里挑选球。就是

\[n! \times [x^n] \left(x + \frac {x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right) ^ m \]

多项式快速幂应该问题不大。两秒应该能接受。

\(\text{IV}\)：球之间互不相同，盒子全部相同。

不好考虑，那尝试 dp？

设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分成 \(j\) 组的方案数。

每个点可以选择加入前面的一个组，也可以选择自己新开一个组。

也就是 \(f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + j f_{i - 1, j}\)。

尝试将这玩意用多项式优化。

\(\text{V}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

\(\text{VI}\)​​​：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

\(\text{VII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同。

设每个盒子里球的数量是 \(cnt_i\)。

用多项式表达出来。

\[[x^n] \left(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\right) ^ m \]

\(\text{VIII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

\[[x^n] \left(1 + x\right) ^ m \]

也就是

\[\binom{m}{n} \]

\(\text{IX}\)​​​：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

\[[x^n] \left(x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\right) ^ m \]

\(\text{X}\)：球全部相同，盒子全部相同。

\(\text{XI}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

\(\text{XII}\)​​：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。