【题解】 洛谷P1280尼克的任务---逆推DP的原理

洛谷P1280尼克的任务

题目描述：尼克的一个工作日为\(n\)分钟，从第1分钟开始到第\(n\)分钟结束。当尼克到达单位后他就开始干活，公司一共有 \(k\) 个任务需要完成。如果在同一时刻有多个任务需要完成，尼克可以任选其中的一个来做，而其余的则由他的同事完成，反之如果只有一个任务，则该任务必需由尼克去完成，假如某些任务开始时刻尼克正在工作，则这些任务也由尼克的同事完成。如果某任务于第\(p\)分钟开始，持续时间为\(t\)分钟，则该任务将在第\((p+t-1)\)分钟结束。写一个程序计算尼克应该如何选取任务，才能获得最大的空暇时间。

思路：运用动态规划解决问题，很自然的思路是设\(f[i]\)代表从\(1\)到\(i\)时间的最大空闲时间。

但是问题在于，本题具有后效性，即第\(i\)分钟的决策会影响到第\(i\)分钟以后的最优决策。

举个例子：输入数据为\((1,3)、(6,14)、(1,6)\)，则\(f[5]\)会选取第一个任务作为最优决策，但是此时\(f[8]\)的最优决策应该是选取第三个任务作为最优决策。故无法从前向后递推。前面的最优决策不一定就是后面的最优决策。

因此，本题应该采取逆推的方式，设\(f[i]\)表示第\(i\)分钟开始的最大空闲时间(同时保证\(i\)此时为空闲或者任务刚开始)，转移方程为

\(f[i]=f[i+1]+1(第i分钟没有新开始的任务)\)
\(f[i]=max(f[i],f[i+t[i]])\),\(其中t[i]表示从i开始的任务的持续时间\)

逆推可行性分析:\(i\)之前的时间任务的接取不受\(i\)之后的活动的影响。如果\(j(j<i)\)需要通过\(i\)进行状态转移，则一定是在刚好到\(i\)的时候处于空闲状态或任务刚刚开始。

之所以如此保证，是因为如果\(i\)正处于任务当中，则一定可以在\(i\)之后找到\(i\)所处的任务的结束点\(j\)，则可以通过\(j\)的空闲时间来代替\(i\)的空闲时间，因此可以省去\(i\)此处的状态，同时使转移方程更加容易书写。

因此转移方程成立，因此\(i\)分钟的行为的最优决策就是\(j\)的最优决策。

对于\(t[i]\)，使用动态数组记录即可。

代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
int n,k;
vector<int>t[10010];
int f[10010];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(register int i=1;i<=k;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		t[x].push_back(y);
	}
	for(register int i=n;i>=1;i--){
		if(!t[i].size()) f[i]=f[i+1]+1;
		for(register int j=0;j<t[i].size();j++){
			f[i]=max(f[i],f[i+t[i][j]]);
		}
	}
	printf("%d\n",f[1]);
}