树状数组基础用法

本文介绍树状数组的三类基础用法。
1.单点修改，区间查询。
2.区间修改，单点查询。
3.区间修改，区间查询。

树状数组的建立所需时间复杂度为\(O(n\log n)\)，空间复杂度为\(O(n)\)，每一次操作的时间复杂度为\(O(\log n)\)，空间复杂度为\(O(1)\)。因其代码简单，常数较小，是比较优秀的数据结构之一。

下图为树状数组模板代码。

struct Binary_Inedxed_Tree{
    ll ans[1000010];
    inline int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }
    inline void add(int pos,ll val,ll x[]){
        for(register int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i)){
            x[i]+=val;
        }
    }
    inline ll query(int pos,ll x[]){
        ll cnt=0;
        for(register int i=pos;i;i-=lowbit(i)){
            cnt+=x[i];
        }
        return cnt;
    }
}a;

结合代码，下面介绍三种树状数组的基础用法：

1.单点修改，区间查询。

ans数组在此时作为前缀和数组，原理较为简单。

2.区间修改，单点查询。

ans数组在此时作为差分数组。
在区间修改时，虽然树状数组会在被修改区间的左端点l的右边继续加上被修改的值，但由lowbit运算保证了每一次差分在最终查询单点值时只会被计算一次。
举个例子，区间[3,6]加1，对应代码为add(3,1)，add(7,-1)，此时add(3,1)时，ans[3]与ans[4]都加上1，但在查询i=5处的数值时，先lowbit到i=4,取出此处的差分值，然后再次进行i-lowbit(i)，则此时位置为0，故3处对应的差分值未被重复计算。

3.区间修改，区间查询。

始终牢记，树状数组的本质是单点修改，区间查询。因此着三个基本操作都离不开单点修改，在区间修改时，单点修改只能使用差分数组，故设ans[i]为差分数组，则最终i处的数值为\(\sum_{1}^{i}ans[i]\)，设数组val[i]表示i的前缀和，则有

\[val[i]=\sum_{j=1}^{i}val[j]=\sum_{j=1}^{i}(i-j+1)ans[j] \]

但在树状数组中，当\(ans[i]\)改变时，无法快速维护每一个\(val[i]\)的改变，因为这时\(val[i]\)的值不仅与\(ans[j]\)有关，还与\(i和j\)之间的距离有关。
因此，可以将上式转化为

\[val[i]=n*\sum_{j=1}^{i}ans[j]-\sum_{j=1}^{i}(j-1)ans[j] \]

此时只需要多开一个\(sum\)数组，\(sum[i]=(i-1)*ans[i]\)，在修改时，当\(ans[j]\)改变，只需要在树状数组维护好\(sum[i]和ans[i]\)的前缀和即可。

例题：Loj132

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int q,n;
struct Binary_Inedxed_Tree{
    ll ans[1000010],sum[1000010];
    inline int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }
    inline void add(int pos,ll val,ll x[]){
        for(register int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i)){
            x[i]+=val;
        }
    }
    inline ll query(int pos,ll x[]){
        ll cnt=0;
        for(register int i=pos;i;i-=lowbit(i)){
            cnt+=x[i];
        }
        return cnt;
    }
}a;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        ll x;
        scanf("%lld",&x);
        a.add(i,x,a.ans);
        a.add(i+1,-x,a.ans);
        a.add(i,(i-1)*x,a.sum);
        a.add(i+1,-i*x,a.sum);
    }
    for(register int i=1;i<=q;i++){
        int opt;
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==1){
            int l,r;ll x;
            scanf("%d%d%lld",&l,&r,&x);
            a.add(l,x,a.ans);a.add(r+1,-x,a.ans);
            a.add(l,x*(l-1),a.sum);a.add(r+1,-x*r,a.sum);
        }
        if(opt==2){
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            ll ans1=r*a.query(r,a.ans)-(l-1)*a.query(l-1,a.ans);
            ll ans2=a.query(r,a.sum)-a.query(l-1,a.sum);
            printf("%lld\n",ans1-ans2);
        }
    }
}