HDU6582 Path 最短路+最小割

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题意：

给出一个有向无环有重边图，删除一条边的代价就是边的长度，求使得点$1$和点$n$的最短路变长或者不存在最短路的最小代价。

题解：

对于一个图两点的最短路中构成的边构成的子图，如果在这个子图中两点不连通，则在实际的图中，最短路一定变长或甚至不存在最短路。故求一次点$1$到其他点的最短路，记录所有最短路上的边，建立子图，求子图上的最小割，即最大流。对于所有边，如果边的两个端点的最短路长度差的绝对值等于边权，则说明这条边在最短路上。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int inf=0x3f3f3f3f;
#define ll long long
struct Edge
{
    int u,v;
    long long w;
    Edge(int a,int b,long long c)
    {
        u=a,v=b,w=c;
    }
    bool operator<(const Edge &a)const
    {
        return w>a.w;
    }
};
vector<Edge>Eo[MAXN];
long long diss[MAXN];
bool vis[MAXN];
void dijkstra()
{
    memset(diss,inf,sizeof(diss));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    priority_queue<Edge>que;
    diss[1]=0;
    que.push(Edge(1,1,0));
    while(!que.empty())
    {
        auto tmp=que.top();
        que.pop();
        if(vis[tmp.v])
            continue;
        vis[tmp.v]=1;
        for(auto &e:Eo[tmp.v])
        {
            if(diss[e.v]>diss[tmp.v]+e.w)
            {
                diss[e.v]=diss[tmp.v]+e.w;
                if(!vis[e.v])
                    que.push(Edge(tmp.v,e.v,diss[e.v]));
            }
        }
    }
}

//最大流模板
int sp,tp;//原点、汇点 
struct node
{
	int v,next;
	ll cap;
}mp[MAXN*4];
int pre[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN];//cur为当前弧优化，dis存储分层图中每个点的层数（即到原点的最短距离），pre建邻接表
int cnt=0;
void init()//不要忘记初始化
{
	cnt=0;
	memset(pre,-1,sizeof(pre));
}
void add(int u,int v,int w)//加边 
{
	mp[cnt].v=v;
	mp[cnt].cap=w;
	mp[cnt].next=pre[u];
	pre[u]=cnt++;
}
bool bfs()//建分层图
{
	memset(dis,-1,sizeof(dis));
	queue<int>q;
	while(!q.empty())
	q.pop();
	q.push(sp);
	dis[sp]=0;
	int u,v;
	while(!q.empty())
	{
		u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=pre[u];i!=-1;i=mp[i].next)
		{
			v=mp[i].v;
			if(dis[v]==-1&&mp[i].cap>0)
			{
				dis[v]=dis[u]+1;
				q.push(v);
				if(v==tp)
				break;
			}
		}
	}
	return dis[tp]!=-1;
}
ll dfs(int u,ll cap)//寻找增广路
{
	if(u==tp||cap==0)
	return cap;
	ll res=0,f;
	for(int &i=cur[u];i!=-1;i=mp[i].next)
	{
		int v=mp[i].v;
		if(dis[v]==dis[u]+1&&(f=dfs(v,min(cap-res,mp[i].cap)))>0)
		{
			mp[i].cap-=f;
			mp[i^1].cap+=f;
			res+=f;
			if(res==cap)
			return cap;
		}
	}
	if(!res)
	dis[u]=-1;
	return res;
}
ll dinic(int n)
{
	ll ans=0;
	while(bfs())
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		    cur[i]=pre[i];
		ans+=dfs(sp,inf);
	}
	return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n,m,a,b,c;
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            Eo[i].clear();
        for(int i=0;i<m;++i)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            Eo[a].push_back(Edge(a,b,c));
        }
        dijkstra();
        sp=1,tp=n;
        init();
        //cout<<endl;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(auto &e:Eo[i])
                if(diss[e.v]-diss[e.u]==e.w)
                {
                    add(e.u,e.v,e.w);
                    add(e.v,e.u,0);
                }
        cout<<dinic(n)<<endl;
    }
    return 0;
}