LCT摘要

介绍、用途

LCT是树链剖分中的一种,又叫实链剖分、动态树,常用于维护动态的树、森林。

维护方式

LCT并不直接维护原树,而是用一堆splay作为辅助树来维护。原树中的一条实链上的点在一棵splay中,虚边体现为辅助上的连接两棵splay的虚边,只认爸爸不认儿子。

变量介绍

 1 int n,m;
 2 struct Node {
 3     int fa,son[2];                                                                                            //爸爸、儿子(0左1右)
 4     int val,all;                                                                                            //该点权值、子树异或和
 5     char ifz;                                                                                                //是否翻转(0否1是)
 6     void res() {                                                                                            //重置(然并卵)
 7         fa=son[0]=son[1]=val=0;
 8     }
 9 } tree[maxn];
10 int pre[maxn],inp;                                                                                            //翻转序列(splay用)
var

各种操作

判断一个点是哪个儿子

不多说了

1 char which(int x) {
2     return x==tree[tree[x].fa].son[1];
3 }
which

判断一个点是不是该splay的根

也不多说了

1 char isroot(int x) {
2     return x!=tree[tree[x].fa].son[which(x)];
3 }
isroot

splay的操作

 1 void rotate(int x) {
 2     int f=tree[x].fa,ff=tree[f].fa,c=which(x);
 3     if(!isroot(f)) tree[ff].son[which(f)]=x;                                                                //若它爸是根就不要搞它爷了
 4     tree[x].fa=ff;
 5     tree[f].son[c]=tree[x].son[c^1];
 6     tree[tree[f].son[c]].fa=f;
 7     tree[x].son[c^1]=f;
 8     tree[f].fa=x;
 9     update(f);
10     update(x);
11 }
12 void splay(int x) {
13     int f;
14     pre[inp=1]=x;
15     for(f=x; !isroot(f); f=tree[f].fa) pre[++inp]=tree[f].fa;                                                //挖出它到根的点
16     fdi(i,inp,1,1) pushdown(pre[i]);                                                                        //全部pushdown
17     for(; !isroot(x); rotate(x))if(!isroot(tree[x].fa))rotate((which(tree[x].fa)^which(x))?x:tree[x].fa);    //无需pushdown
18 }
splay

打通这个点到原树的根为实链

这个是重点!!!是LCT的核心!!!

首先,先将该节点splay到根,并将其爸爸splay到根。于是我们知道,它爸爸的右儿子深度大于它爸爸,是需要砍成虚边的点,而它的深度也大于它爸爸,所以直接将它爸爸的右儿子变成它。重复上述操作,直到它无爸爸。

1 void access(int x) {
2     for(int pr=0; x; pr=x,x=tree[x].fa)splay(x),tree[x].son[1]=pr,update(x);
3 }
access

将这个点变成原树的根

先打通这个点到根,并将它splay到根。然后我们可以发现,不在这棵splay上的点不受影响,而这棵splay上的点深浅颠倒,对应到splay上就是区间翻转。所以给它打上一个翻转标记。

1 void makeroot(int x) {
2     access(x);
3     splay(x);
4     tree[x].ifz^=1;                                                                                            //打翻转标记
5 }
makeroot

查找这个点所在原树的根

先打通它到根并splay,然后找到它所在splay的最左边的点(即一直往左儿子找)。

1 int find(int x) {
2     for(access(x),splay(x); tree[x].son[0]; x=tree[x].son[0]);
3     return x;
4 }
find

连接个点并连接两棵树

将一个点变成根,并令这个点爸爸为另一个点。注意先判断这两个点在不在一棵树内,在就不用连了。

1 void link(int x,int y) {
2     makeroot(x);
3     tree[x].fa=y;
4 }
link

切断两点之间的边

先判断在不在一棵树内,不在就不切。然后将一个点变成根,另一个点打通到根并splay到根。易发现若这两个点间有边则这棵splay中只有它们俩。判断一下即可。

1 void cut(int x,int y) {
2     makeroot(x);
3     access(y);
4     splay(y);
5     if(tree[y].son[0]==x&&!tree[y].son[1]&&!tree[x].son[0]&&!tree[x].son[1])tree[y].son[0]=tree[x].fa=0;
6 }
cut

改变一个点的值

将这个点变成根,并将其splay,再改变权值即可。

1 void change(int x,int y) {
2     makeroot(x);
3     splay(x);
4     tree[x].val=y;
5     update(x);
6 }
change

查询x到y的异或和

将x变成根,打通y并splay,直接查询即可。

1 int query(int x,int y) {
2     makeroot(x);
3     access(y);
4     splay(y);
5     return tree[y].all;
6 }
query

时空复杂度

时间复杂度

splay:均摊O(logn)的不用说了吧

access:由于每次access最多有logn条实边变成虚边,splay复杂度也仅为均摊O(logn),因此时间复杂度均摊O(logn)

makeroot:makeroot的开销主要为access,因此也为均摊O(logn)

其他:基于以上三种操作,因此都为均摊O(logn)

只是常数无比巨大!!!
只是常数无比巨大!!!
只是常数无比巨大!!!

空间复杂度

显然是O(n)的

题目

洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree (动态树)

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define ImaxnF 0x7fffffff
 4 #define ME 0x7f
 5 #define FO(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
 6 #define fui(i,a,b,c) for(int i=(a);i<=(b);i+=(c))
 7 #define fdi(i,a,b,c) for(int i=(a);i>=(b);i-=(c))
 8 #define fel(i,a) for(register int i=h[a];i;i=ne[i])
 9 #define ll long long
10 #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
11 #define maxn (300000+10)
12 int n,m;
13 struct Node{
14     int fa,son[2];
15     int val,all;//,siz;
16     char ifz;
17     void res(){fa=son[0]=son[1]=val=/*siz=*/0;}
18 }tree[maxn];
19 int pre[maxn],inp;
20 template<class T>
21 inline T read(T &n){
22     n=0;int t=1;char ch;
23     for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());(ch=='-')?t=-1:n=ch-'0';
24     for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n=n*10+ch-'0';
25     return (n*=t);
26 }
27 template<class T>
28 T write(T n){
29     if(n<0) putchar('-'),n=-n;
30     if(n>=10) write(n/10);putchar(n%10+'0');
31 }
32 template<class T>
33 T writeln(T n){
34     write(n);putchar('\n');
35 }
36 char which(int x){return x==tree[tree[x].fa].son[1];}
37 char isroot(int x){return x!=tree[tree[x].fa].son[which(x)];}
38 void update(int x){tree[x].all=tree[tree[x].son[0]].all^tree[tree[x].son[1]].all^tree[x].val;}
39 void pushdown(int x){
40     if(tree[x].ifz){
41         tree[x].ifz=0,swap(tree[x].son[0],tree[x].son[1]);
42         tree[tree[x].son[0]].ifz^=1,tree[tree[x].son[1]].ifz^=1;
43     }
44 }void rotate(int x){
45     int f=tree[x].fa,ff=tree[f].fa,c=which(x);if(!isroot(f)) tree[ff].son[which(f)]=x;
46     tree[x].fa=ff;tree[f].son[c]=tree[x].son[c^1];tree[tree[f].son[c]].fa=f;
47     tree[x].son[c^1]=f;tree[f].fa=x;update(f);update(x);
48 }void splay(int x){
49     int f;pre[inp=1]=x;for(f=x;!isroot(f);f=tree[f].fa) pre[++inp]=tree[f].fa;fdi(i,inp,1,1) pushdown(pre[i]);
50     for(;!isroot(x);rotate(x))if(!isroot(tree[x].fa))rotate((which(tree[x].fa)^which(x))?x:tree[x].fa);//update(x);
51 }void access(int x){for(int pr=0;x;pr=x,x=tree[x].fa)splay(x),tree[x].son[1]=pr,update(x);}
52 void makeroot(int x){access(x);splay(x);tree[x].ifz^=1;}
53 int find(int x){for(access(x),splay(x);tree[x].son[0];x=tree[x].son[0]);return x;}
54 void cut(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);if(tree[y].son[0]==x&&!tree[y].son[1]&&!tree[x].son[0]&&!tree[x].son[1]/*tree[y].siz==2*/)tree[y].son[0]=tree[x].fa=0;}
55 void link(int x,int y){makeroot(x);tree[x].fa=y;}
56 void change(int x,int y){makeroot(x);splay(x);tree[x].val=y;update(x);}
57 int query(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);return tree[y].all;}
58 int main(){
59     read(n);read(m);
60     fui(i,1,n,1) tree[i].val=read(tree[i].all);
61     fui(i,1,m,1){
62         int opt,x,y;
63         read(opt);read(x);read(y);
64         switch(opt){
65             case 0:writeln(query(x,y));break;
66             case 1:if(find(x)!=find(y)) link(x,y);break;
67             case 2:if(find(x)==find(y)) cut(x,y);break;
68             case 3:change(x,y);
69         }
70     }
71     return 0;
72 }
AC代码

BZOJ2049 [Sdoi2008]Cave 洞穴勘测

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define ImaxnF 0x7fffffff
 4 #define ME 0x7f
 5 #define FO(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
 6 #define fui(i,a,b,c) for(int i=(a);i<=(b);i+=(c))
 7 #define fdi(i,a,b,c) for(int i=(a);i>=(b);i-=(c))
 8 #define fel(i,a) for(register int i=h[a];i;i=ne[i])
 9 #define ll long long
10 #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
11 #define maxn (10000+10)
12 int n,m;
13 struct Node{
14     int fa,son[2];
15     char ifz;
16 }tree[maxn];
17 int pre[maxn],inp;
18 template<class T>
19 inline T read(T &n){
20     n=0;int t=1;double x=10;char ch;
21     for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());(ch=='-')?t=-1:n=ch-'0';
22     for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n=n*10+ch-'0';
23     if(ch=='.') for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n+=(ch-'0')/x,x*=10;
24     return (n*=t);
25 }
26 char which(int x){return x==tree[tree[x].fa].son[1];}
27 char isroot(int x){return x!=tree[tree[x].fa].son[which(x)];}
28 void pushdown(int x){
29     if(tree[x].ifz){
30         tree[x].ifz=0,swap(tree[x].son[0],tree[x].son[1]);
31         tree[tree[x].son[0]].ifz^=1,tree[tree[x].son[1]].ifz^=1;
32     }
33 }
34 void rotate(int x){
35     int f=tree[x].fa,ff=tree[f].fa,c=which(x);if(!isroot(f)) tree[ff].son[which(f)]=x;
36     tree[x].fa=ff;tree[f].son[c]=tree[x].son[c^1];tree[tree[f].son[c]].fa=f;
37     tree[x].son[c^1]=f;tree[f].fa=x;
38 }
39 void splay(int x){
40     int f;pre[inp=1]=x;for(f=x;!isroot(f);f=tree[f].fa) pre[++inp]=tree[f].fa;fdi(i,inp,1,1) pushdown(pre[i]);
41     for(;!isroot(x);rotate(x))if(!isroot(tree[x].fa))rotate((which(tree[x].fa)^which(x))?x:tree[x].fa);
42 }
43 void access(int x){for(int pr=0;x;pr=x,x=tree[x].fa)splay(x),tree[x].son[1]=pr;}
44 void makeroot(int x){access(x);splay(x);tree[x].ifz^=1;}
45 int find(int x){for(access(x),splay(x);tree[x].son[0];x=tree[x].son[0]);return x;}
46 void cut(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);if(tree[y].son[0]==x&&!tree[y].son[1]&&!tree[x].son[0]&&!tree[x].son[1])tree[y].son[0]=tree[x].fa=0;}
47 void link(int x,int y){makeroot(x);tree[x].fa=y;}
48 int main(){
49     read(n);read(m);
50     fui(i,1,m,1){
51         int x,y;char opt;
52         for(opt=getchar();opt!='Q'&&opt!='C'&&opt!='D';opt=getchar());read(x);read(y);
53         switch(opt){
54             case 'Q':puts((find(x)==find(y))?"Yes":"No");break;
55             case 'C':if(find(x)!=find(y)) link(x,y);break;
56             case 'D':cut(x,y);break;
57         }
58     }
59     return 0;
60 }
AC代码

 

作者:A星际穿越
我的博客写得这么烂,应该不会有人想转载的吧
如果要转载的话,请在文章显眼处标明作者和出处谢谢
posted @ 2018-08-22 20:43  A星际穿越  阅读(213)  评论(0编辑  收藏  举报