基础数据结构

基础算法进阶

1. 位运算

核心思想：直接对二进制位进行操作（与、或、异或、左移、右移等），利用二进制的特性简化计算。适用场景：

• 高效数值计算（如判断奇偶、求绝对值、交换变量）；

• 状态压缩（用二进制位表示多个布尔状态，如子集问题）；

• 位掩码操作（如权限控制、二进制枚举）。

  优点：运算速度快（直接操作硬件层面），空间开销小。

  缺点：可读性较差，逻辑复杂时难以维护；仅适用于二进制相关场景。

2. 递归

核心思想：通过函数调用自身，将大问题分解为规模更小的同类子问题，直到触发终止条件后回溯求解。

适用场景：

• 问题具有递归结构（如树的遍历、分治算法）；

• 回溯法（如全排列、子集生成）；

• 数学定义递归的问题（如斐波那契数列、阶乘）。

  优点：代码简洁，符合问题的自然逻辑。

  缺点：可能因递归深度过大导致栈溢出；存在重复计算（可通过记忆化优化）；时间 / 空间复杂度较高（递归栈开销）。

3. 双指针

核心思想：使用两个指针在数据结构（数组、链表）上同时移动，通过指针的相对运动减少遍历次数，优化效率。常见类型：

• 同向指针（如滑动窗口，一个快指针扩展范围，一个慢指针收缩范围）；

• 反向指针（如有序数组两数之和，从两端向中间逼近）；

• 快慢指针（如链表环检测，快指针速度是慢指针 2 倍）。

  优点：将暴力解法的 O (n²) 时间复杂度优化为 O (n)，效率高。

  缺点：依赖数据结构特性，适用场景有限。

4. 前缀和与差分

核心思想：通过预处理数据，将频繁的区间查询或更新操作转化为 O (1) 的快速计算。

• 前缀和：提前计算数组前 n 项的累加和，用于快速求任意区间和。

• 差分：前缀和的逆操作，通过差分数组快速实现区间增减（再求前缀和还原数组）。

  适用场景：

• 前缀和：例如静态数组的高频区间和查询。

• 差分：高频区间更新操作。

  优点：预处理后操作效率极高（O (1)），简化复杂的区间计算。

  缺点：预处理需 O (n) 时间和空间；不适合动态数据（数据频繁插入 / 删除）。

5. 二分与倍增

核心思想：均基于 “范围缩减”，通过减少问题规模的一半（二分）或成倍扩大步长（倍增）提升效率。

• 二分：在有序序列中，通过比较中间值与目标值，不断缩小查找范围（需满足 “单调性”）。

• 倍增：通过成倍增长步长（如 2⁰, 2¹, 2²...）快速定位目标，避免线性遍历。

  适用场景：

• 二分：有序数组查找、求边界值（如第一个大于 x 的元素）、解单调函数方程（二分答案）；

• 倍增：LCA（最近公共祖先）、区间最值查询、快速幂运算。

  优点：时间复杂度低（O (logn)），适用于大规模数据。

  缺点：二分依赖 “有序” 或 “单调性”；倍增需预处理（如 ST 表的 O (nlogn) 预处理）。

6. 排序与贪心

• 排序：核心是将数据按指定规则（升序 / 降序）排列，为后续操作（如二分、贪心）提供基础。常见算法：快速排序、归并排序、堆排序等。

• 贪心：每次选择 “局部最优解”，期望通过累积局部最优得到 “全局最优解”（需严格证明可行性）。

  优点：

  ​ 排序后数据便于高效处理，是许多算法的前置步骤；

  ​ 贪心代码简洁，时间复杂度低（通常 O (nlogn)，瓶颈在排序）。

  缺点：

  ​ 排序本身耗时（O (nlogn)）；

  ​ 贪心仅适用于满足 “局部最优→全局最优” 的问题（如 01 背包问题不适用），需严格证明。

基础数据结构

数据结构核心特性分析与总结

一、各数据结构详细分析

1. 栈（Stack）

• 定义本质：一种线性表，遵循 “先进后出（LIFO，Last In First Out）” 的逻辑，仅允许在表的一端（栈顶）进行插入 / 删除操作，另一端（栈底）固定不可操作。
• 核心特性：操作受限（仅栈顶可达）、元素进出顺序严格可逆。
• 典型操作：
  • push（入栈）：栈顶添加元素；
  • pop（出栈）：移除栈顶元素并返回；
  • top（栈顶查询）：获取栈顶元素但不删除。
• 时间复杂度：push、pop、top均为 O (1)（无需遍历，直接操作栈顶）；搜索任意元素为 O (n)（需从栈顶依次向下遍历）。

2. 队列（Queue）

• 定义本质：一种线性表，遵循 “先进先出（FIFO，First In First Out）” 的逻辑，仅允许在表的一端（队尾）插入元素，另一端（队头）删除元素。
• 核心特性：操作受限（队头出、队尾入）、元素进出顺序与插入顺序一致。
• 典型操作：
  • push（入队）：队尾添加元素；
  • pop（出队）：移除队头元素并返回；
  • front（队头查询）：获取队头元素但不删除。
• 时间复杂度：push、pop（循环队列优化后）、front 均为 O (1)；搜索任意元素为 O (n)。

3. 链表

• 定义本质：一种线性表，通过 “节点” 串联实现 —— 每个节点包含数据域和指针域（指向相邻节点），无需连续内存空间。
• 核心特性：内存灵活（无需预分配空间，动态增减）、访问依赖指针（不支持随机访问）、插入 / 删除无需移动元素（仅修改指针）。
• 常见类型：
  • 单链表：节点仅含后继指针，只能从表头向后遍历；
  • 双向链表：节点含前驱 + 后继指针，可双向遍历；
  • 循环链表：首尾节点相连，形成闭环（如约瑟夫环问题）。
• 典型操作：
  • 插入 / 删除：O (1)（已知目标节点位置时）；
  • 遍历 / 搜索：O (n)（需从表头 / 表尾依次访问）；
  • 访问第 k 个元素：O (n)（无随机访问能力）。

4. 哈希（Hash，散列表）

• 定义本质：一种非线性结构，通过 “哈希函数” 将关键码（key）映射到存储地址，实现 “key - 值” 的快速查找，核心是 “空间换时间”。
• 核心特性：查找效率极高（理想情况 O (1)）、依赖哈希函数设计（避免冲突）、无序存储（映射地址无规律）。
• 关键概念：
  • 哈希函数：将 key 转换为地址的函数（需满足一致性、均匀性）；
  • 哈希冲突：不同 key 映射到同一地址的现象（解决方式：链地址法 / 拉链法、开放地址法、再哈希法）；
  • 负载因子：存储元素个数 / 哈希表容量（负载因子越大，冲突概率越高）。
• 时间复杂度：
  • 理想情况（无冲突）：插入 / 删除 / 查找均为 O (1)；
  • 最坏情况（全冲突，如链地址法退化为链表）：O (n)。

5. KMP 与最小表示法

（1）KMP 算法

• 核心目标：高效解决 “模式串在主串中是否存在” 的匹配问题，避免暴力匹配的重复回溯。
• 核心特性：预处理模式串（生成部分匹配表 /next 数组），减少主串回溯，提升匹配效率。
• 关键原理：
  • 部分匹配表（next 数组）：记录模式串中每个位置的 “最长前缀后缀匹配长度”，用于指导匹配失败时模式串的跳转（而非主串回溯）。
• 时间复杂度：预处理 O (m)（m 为模式串长度），匹配 O (n)（n 为主串长度），整体 O (n+m)（优于暴力匹配 O (n*m)）。

（2）最小表示法

• 核心目标：查找字符串的 “最小循环表示”（即通过循环移位得到的所有字符串中字典序最小的一个）。
• 核心特性：双指针遍历 + 跳跃比较，避免枚举所有循环移位（降低时间复杂度）。
• 关键原理：通过两个指针 i、j 指向可能的最小表示起点，比较对应位置字符，根据大小关系跳跃指针，最终找到最小起点。
• 时间复杂度：O (n)（n 为字符串长度），优于暴力枚举 O (n²)。

6. Trie（字典树 / 前缀树）

• 定义本质：一种多叉树结构，专门用于存储字符串，每个节点代表一个字符，路径从根节点到叶子节点对应一个完整字符串，相同前缀共享路径。
• 核心特性：前缀共享（节省空间）、前缀匹配高效、节点无直接存储的 key（路径即 key）。
• 典型操作：
  • 插入 / 查找（完整字符串）：O (k)（k 为字符串长度，与存储的字符串总数无关）；
  • 前缀匹配（如查找所有以 “app” 开头的字符串）：O (k)。
• 优缺点：
  • 优点：前缀匹配极快，空间效率高（共享前缀）；
  • 缺点：字符集过大时空间消耗增加（如存储 Unicode 字符）。
• 适用场景：前缀匹配（如搜索引擎自动补全）、字典查询、拼写检查、IP 路由最长前缀匹配。

7. 二叉堆

• 定义本质：一种完全二叉树（逻辑结构），通常用数组（物理结构）存储，满足 “堆序性”：
  • 大根堆：每个父节点的值 ≥ 子节点的值（堆顶为最大值）；
  • 小根堆：每个父节点的值 ≤ 子节点的值（堆顶为最小值）。
• 核心特性：堆顶为极值（快速获取最大 / 最小值）、完全二叉树结构（数组存储无空间浪费）、插入 / 删除后需 “堆化”（维持堆序性）。
• 典型操作：
  • 获取堆顶元素：O (1)（直接访问数组第一个元素）；
  • 插入 / 删除：O (log n)（插入尾部 / 删除堆顶后，通过 “上浮”“下沉” 调整堆序）；
  • 堆排序：O (n log n)（依次取出堆顶元素，重建堆）。
• 适用场景：优先级队列（底层实现）、堆排序、Top K 问题（如前 10 名高分学生）、中位数查找（大根堆 + 小根堆组合）。