数学
数论与线性代数
1. 位运算
负数的二进制表达：正数表达 - 1，再取反
-8 ——>(正) 8：1000 ——>(- 1) 0111 ——>(取反) 1000
看负几：先取反，再 + 1
1000 ——>(取反) 0111 ——>(+ 1) 1000(8) ... -8
-8 ~ -1：1000, 1001, ..., 1111
0 ~ 7 ：0000, 0001, ..., 0111
int c = 0b110 //二进制 6
int d = 0x4e //十六进制 78 (0 ~ 9, a ~ f)
~ 取反 相反数：取反，再 +1 (最小负数的相反数得不到)
| 或 每一位上只要有一个 "1", 就会留下来
& 与 每一位上两个都是 "1", 才会留下 "1"
^ 异或 每一位上两个相同就是 "0", 不同就是 "1"
<< 左移
>> >>> 右移 非负数, 效果一样。负数, >> 左边用符号位补, >>> 左边用 0 来补
非负数
<< i (* pow(2, i))
>> i (/pow(2, i))
//打印二进制
for(int i = 31; i >= 0; i--)
if(a & (1 << i)) //若 i > 31, 把 1 写成 1L, long 类型
cout << 1;
else
cout << 0;
(n >> k) & 1 //取出整数 n 在二进制表示下的第 k 位 // 1 << k & n
n & ((1 << k) - 1) //取出整数 n 在二进制表示下的第 0 ~ k - 1 位 （后 k 位）
n xor (1 << k) //把整数 n 在二进制表示下的第 k 位取反
n | (1 << k) //对整数 n 在二进制表示下的第 k 位赋值 1
n & (~ (1 << k)) //对整数 n 在二进制表示下的第 k 位赋值 0
n & (n - 1) //把 n 的最后一个 1 去掉
2. GCD 和 LCM
GCD
性质：
gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|);
gcd(a, b) = gcd(a, k * a + b);
gcd(k * a, k * b) = k * gcd(a, b);
gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c);
若 gcd(a, b) = d, 则 gcd(a / d, b / d) = 1, 即 a / d 与 b / d 互素
库函数
__gcd(a, b);
gcd(a, b); // C++17 引入
模板
辗转相除法
int gcd(int a, int b)
{
if(b > a) // 保证a是大数，b是小数
{
a ^= b;// 交换两数的值
b ^= a;
a ^= b;
}
while(b > 0) // 终止条件就是b == 0
{
int r = a % b;
a = b;
b = r;
}
return a;
}
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
更相减损术
int gcd(int a, int b)
{
while(a != b)
{
if(a > b) a = a - b;
else b = b - a;
}
return a;
}
LCM
算术基本定理
任何大于 1 的自然数 n, 如果 n 不为质数，那么 n 可以唯一分解成有限个质数的乘积
库函数
lcm(a, b) // C++17 引入
模板
int lcm(int a, int b)
{
return a * gcd(a, b) / b;
}
裴蜀定理
定义
如果 a 与 b 均为整数，则有整数 x 和 y 使 a * x + b * y = gcd(a, b)
推论
整数 a 与 b 互素当且仅当存在整数 x 和 y ，使 a * x + b * y = 1
3. 异或空间线性基
// 不用高斯消元求线性基
const int M = 63;
// 数组p[]存储线性基, p[i] 表示最高位在第 i 位的元素
int p[M]; // 线性基
bool zero;
void insert(int x)
{
for (int i = M; i >= 0; i--)
if (x >> i == 1) // x 的最高位
if (p[i] == 0) // p[i]还没有, 直接让 p[i] = x;
{
p[i] = x;
return;
}
else // p[i] 已经有了, 逐个异或
x ^= p[i];
zero = true; // 有异或为 0 的组合
}
int qmax()
{
int ans = 0;
for (int i = M; i >= 0; i--)
ans = max(ans, ans ^ p[i]);
return ans;
}
int main()
{
int x;
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> x, insert(x);
cout << qmax() << endl;
}
4. 快速幂
求 \(a^n\) 的值
int fastPow(int a, int n)
{
int res = 1;
while(n)
{
if(n & 1) res *= a;
a *= a;
n >>= 1;
}
return res;
}
求 \(a^n\) %mod 的值
int fastPow(int a, int n, int mod)
{
int res = 1 % mod;
a %= mod;
while(n)
{
if(n & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
n >>= 1;
}
return res;
}
5. 模运算
加：(a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m
减：(a - b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m
乘：(a * b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m
求 a * b % mod 的值
int mul(int a, int b, int mod)
{
a = a % mod;
b = b % mod;
int res = 0;
while (b > 0)
{
if (b & 1) res = (res + a) % mod;
a = (a + a) % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
//a * b = (a * 2 * 2 * ... * 2) *( b / 2 / 2 / ... / 2)
//b 若为奇数， 加上多的 a * 2
另一种解法：\(a*b\) %mod = \(a*b\) - \(\lfloor a*b/mod \rfloor\) * mod
int mul(int a, int b, int mod)
{
a %= mod;
b %= mod;
int c = (ld)a * b / mod;
int res = a * b - c * mod;
if(res < 0) res += mod;
else if(res >= mod) res -= mod;
return res;
}
Barrett 模乘优化
1651. 锻炼 - AcWing题库
kactl/content/various/FastMod.h at main · kth-competitive-programming/kactl · GitHub
几种取模优化方法（译自 min-25 的博客） - 讨论 - LibreOJ (loj.ac)
巴雷特还原 - 维基百科，自由的百科全书 --- Barrett reduction - Wikipedia
AcWing 5579. 增加模数 : Barrett 模乘优化取模运算的性能测试对比 - AcWing
Barrett 模乘源码对于 M≥2 时都是适用的（分析源码原理不难得出，M=1 时会出现溢出情况从而无法正常使用）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef __uint128_t L;
struct FastMod
{
ull b, m;
FastMod(ull b) : b(b), m(ull((L(1) << 64) / b)) {}
ull reduce(ull a) {
ull q = (ull)((L(m) * a) >> 64);
ull r = a - q * b; // can be proven that 0 <= r < 2*b
return r >= b ? r - b : r;
}
};
FastMod F(2);
int main() {
int M = 1000000007; F = FastMod(M);
ull x = 10ULL*M+3;
cout << x << " " << F.reduce(x) << "\n"; // 10000000073 3
}
6. 欧拉函数
定义
设 n 是一个正整数，欧拉函数 \(\phi(n)=\sum_{i=1}^n{[gcd(i,n)=1]}\) 定义为不超过 n 且 与 n 互素 的正整数的个数
定理一
设 p 和 q 是 互素 的正整数，那么 \(\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)\)
定理二
设 n 为正整数，那么 \(n=\sum_{d|n}{\phi(d)}\) ，其中，d|n 表示 d 整除 n，上式表示对 n 的正因数 求和。例如，n=12, 那么 d 是 1，2，3，4，6，12，有 \(12=\phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+\phi(4)+\phi(6)+\phi(12)\) 。n的正因数的欧拉函数之和等于 n
求欧拉函数的通解公式
欧拉定理
设 m 是一个正整数，a 是一个整数且 a 与 m 互素，即 gcd(a, m) = 1，则有 \(a^{\phi(m)}\equiv1(mod\;m)\)
定理三
设 \(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\dots\times p_s^{a_s}\) 为整数 n 的 质幂因数分解，那么 \(\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k})=n\prod_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)
上述公式有以下两种特殊情况
（1）若 n 是素数，\(\phi(n)=n-1\)
（2）若 \(n=p^k\)，p 是素数，有 \(\phi(n)=\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k-1}\phi(p)\)
求单个欧拉函数
int euler(int n)
{
int ans = n;
for (int p = 2; p * p <= n; ++p)
{
if(n % p == 0)
{
ans = ans / p * (p - 1);
while (n % p == 0)
n /= p;
}
}
if (n != 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
用线性筛 (欧拉筛) 求 1~n 内的所有欧拉函数
const int N = 50000;
int vis[N];
int prime[N];
int phi[N];
int sum[N];
void get_phi()
{
phi[1] = 1;
int cnt = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if(!vis[i])
{
vis[i] = i;
prime[cnt++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; j < cnt; j++)
{
if(i * prime[j] > N) break;
vis[i * prime[j]] = prime[j];
if(i % prime[j] == 0)
{
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
}
}
}
int main()
{
get_phi();
sum[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) sum[i] = sum[i - 1] + phi[i];
int n;
scanf("%d", &n);
if(n == 1) printf("0\n");
else printf("%d\n", 2 * sum[n - 1] + 1);
}
7. 矩阵的应用
矩阵乘法
//A：m * n B: n * u
for(int i = 1; i <= m; i++)
for(int j = 1; j <= u; j++)
for(int k = 1; k <= n; k++)
c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
矩阵快速幂
struct matrix
{
int m[N][N];
matrix() { memset(m, 0, sizeof(m)); }
};
matrix operator*(const matrix &a, const matrix &b)
{
matrix c;
memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
for (int k = 0; k < N; k++)
// c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j]; //不取模
c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod; // 取模
return c;
}
matrix pow_matrix(matrix a, int n)
{
matrix res;
memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
// 初始化为单位矩阵
for (int i = 0; i < N; i++) res.m[i][i] = 1;
while (n)
{
if (n & 1)
res = res * a;
a = a * a;
n >>= 1;
}
return res;
}
矩阵快速幂加速递推
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2;
const int mod = 1e4;
struct matrix
{
int m[N][N];
matrix() { memset(m, 0, sizeof(m)); }
};
matrix operator*(const matrix &a, const matrix &b)
{
matrix c;
memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
for (int k = 0; k < N; k++)
c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod; // 取模
return c;
}
matrix pow_matrix(matrix a, int n)
{
matrix res;
memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
for (int i = 0; i < N; i++) // 初始化为单位矩阵
res.m[i][i] = 1;
while (n)
{
if (n & 1) res = res * a;
a = a * a;
n >>= 1;
}
return res;
}
signed main()
{
int n;
while (cin >> n && n != -1)
{
matrix a;
a.m[0][0] = 1;
a.m[0][1] = 1;
a.m[1][0] = 1;
matrix ans = pow_matrix(a, n);
cout << ans.m[1][0] << endl;
}
}
其他
【算法讲解】方程式配平法求线性递推方程转移矩阵_哔哩哔哩_bilibili 17 min
8. 整除分块（数论分块）
整除分块是为了解决一个整除的求和问题 \(\sum_{i=1}^n{\lfloor {\frac{n}{i}} \rfloor}\)
把 \(\lfloor {\frac{n}{i}} \rfloor\) 按相同值分块一共需要分为 \(2\sqrt{n}\) 块
int main()
{
int n, L, R, ans = 0;
cin >> n;
for (L = 1; L <= n; L = R + 1)
{
R = n / (n / L);
ans += (R - L + 1) * (n / L);
cout << L << "-" << R << ":" << n / R << endl;
}
cout << ans << endl;
}
ull solve(ull n)
{
ull ans = 0;
ull r;
for (ull l = 1; l <= n; l = r + 1)
{
ull s = n / l;
r = n / s;
ans += (l + r) * (r - l + 1) / 2 * s;
}
return ans;
}
int main()
{
ull a,b;
while((scanf("%llu%llu", &a, &b)!=EOF))
cout<<sol(b)-sol(a-1)<<endl;
return 0;
}
9. 素数
小素数的判定
试除法
前提：n<= \(10^{12}\)
bool is_prime(int n)
{
if(n < 2 || (n !=2 && n % 2 ==0)) return false;
for(int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2)
if(n % i == 0) return false;
return true;
}
PI (x) 表示不超过整数 x 的素数的个数
素数定理：随着 x 的无限增长，PI (x) 和 x / ln (x) 的比趋于 1
大素数的判定
费马小定理：设 n 是素数，a 是正整数且与 n 互素，那么就有 \(a^{n-1}\) 恒等于 1 (mod n)
二次探测定理：如果 p 是一个 奇素数，且 e>=1，则方程 \(x^2\) 恒等于 1 (mod \(p^e\)) 仅有两个解：x = 1 和 x = -1。当 e = 1 时，方程 \(x^2\) 恒等于 1 (mod p) 仅有两个解 x = 1 和 x = p - 1 。
素数筛
埃氏筛
int prime[N];
bool vis[N];
int E_sieve(int n) // [2, n] 内的素数
{
for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
if(!vis[i])
for(int j = i * i; j <= n; j += i) vis[j] = true;
int k = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(!vis[i]) prime[k++] = i;
return k;
}
欧拉筛
int prime[N];
bool vis[N];
int euler_sieve(int n) // [2, n] 内的素数
{
int k = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(!vis[i]) prime[k++] = i;
for(int j = 0; j < k; j++)
{
if(i * prime[j] > n) break;
vis[i * prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
return k;
}
质因数分解
算术基本定理：任何一个正整数 n 都可以唯一分解为有限个 素数 的乘积
欧拉筛求最小质因数
int prime[N];
int vis[N]; // 记录最小质因数
int euler_sieve(int n) // [2, n] 内的素数
{
int k = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(!vis[i])
{
vis[i] = i;
prime[k++] = i;
}
for(int j = 0; j < k; j++)
{
if(i * prime[j] > n) break;
vis[i * prime[j]] = prime[j];
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
return k;
}
试除法分解质因数
10. 高斯消元
#define eps 1e-9
int main()
{
int n;
cin >> n;
vector<vector<double>> a(n + 1, vector<double>(n + 2));
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
cin >> a[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int k = i;
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
if (fabs(a[j][i]) > fabs(a[k][i])) k = j;
swap(a[i], a[k]);
if (fabs(a[i][i]) < eps)
{
puts("No Solution");
return 0;
}
for (int j = n + 1; j >= i; j--) a[i][j] /= a[i][i];
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (j != i)
{
double temp = a[j][i] / a[i][i];
for (int k = n + 1; k >= i; k--)
a[j][k] -= a[i][k] * temp;
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%.2lf\n", a[i][n + 1]);
}
11. 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演
定义
莫比乌斯函数 \(u(n)\) 定义为 $$u(n)=\begin{cases}
1,;n=1\
{(-1)}^r,;n=p_1p_2\dots p_r,;其中;p_i;为不同的素数\
0,;其他
\end{cases}$$
定理
定理一
莫比乌斯函数的和函数在整数 \(n\) 处的值 \(F(n)=\sum_{d|n}u(d)\) ，满足 $$\sum_{d|n}u(d)=\begin{cases}
1,;n=1\
0,;n=1
\end{cases}$$
定理二
莫比乌斯反演公式。若 \(f\) 是算术函数，\(F\) 为 \(f\) 的和函数，对任意正整数 \(n\) ，满足 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\) ，则有 \(f(n)=\sum_{d|n}u(d)F(\frac{n}{d})\)
定理三
设 \(f\) 是算术函数，它的和函数为 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\) 。如果 \(F\) 是积性函数，则 \(f\) 也是积性函数
12. 同余
13. 威尔逊定理
若 p 为素数，则 p 可以整除 (p - 1) ! + 1
1. ((p - 1) ! + 1) mod p = 0
2. (p - 1) ! mod p = p - 1
3. (p - 1) ! = pq - 1 q 为整数
4. 用同余表示为 (p - 1) ! 恒等于 -1 (mod p)
14. 0/1 分数规划
15. 杜教筛
16. 狄利克雷卷积
定义
设 f 和 g 是算术函数，记 f 和 g 的 狄利克雷卷积 为 f * g，定义为 \((f*g)(n)=\sum_{d|n} f(d)\;g(\frac{n}{d})\)
性质
- 交换律 \(f*g=g*f\)
- 结合律 \((f*g)*h=f*(g*h)\)
- 分配律 \(f*(g+h)=(f*g)+(f*h)\)
- 元函数的定义为 $$\epsilon(n)=\lfloor {\frac{1}{n}} \rfloor=\begin{cases}
1, & n=1 \
0, & n>1
\end{cases}$$ 对于任何 \(f\) , 有 \(\epsilon*f=f*\epsilon=f\) - 两个积性函数的狄利克雷卷积仍然是积性函数
17. 积性函数
18. 线性丢番图方程
组合数学
1. 二项式定理和杨辉三角
二项式定理
- 计算二项式系数
- 递推公式 \(C_n^r=C_{n-1}^r+C_{n-1}^{r-1}\)
- 用逆计算
杨辉三角
\((1+x)^n\) 的系数
计算杨辉三角
int a[21][21];
int main()
{
int n; cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i][1] = a[i][i] = 1; // 赋初值
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 2; j < i; j++)
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1]; // 递推二项式求系数
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= i; j++)
cout << a[i][j] << " ";
cout << endl;
}
}
计算二项式系数
P 1313 [NOIP 2011 提高组] 计算系数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态
递推公式
const int N = 1005;
const int mod = 10007;
int c[N][N];
int fastPow(int a, int n)
{
int res = 1 % mod;
a %= mod;
while (n)
{
if (n & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
n >>= 1;
}
return res;
}
int dfs(int n, int m) // 递推公式求二项式系数
{
if (!m) return c[n][m] = true;
if (m == 1) return c[n][m] = n;
if (c[n][m]) return c[n][m];
if (n - m < m) m = n - m;
return c[n][m] = (dfs(n - 1, m) + dfs(n - 1, m - 1)) % mod;
}
int main()
{
int a, b, k, n, m;
cin >> a >> b >> k >> n >> m;
c[1][0] = c[1][1] = 1;
int ans = 1;
ans *= (fastPow(a, n) * fastPow(b, m)) % mod;
ans *= dfs(k, n) % mod;
cout << ans % mod << endl;
}
逆
const int N = 10005;
const int mod = 10007;
int fac[N], inv[N]; // 预计算阶乘和逆
int fastPow(int a, int n)
{
int res = 1 % mod;
a %= mod;
while (n)
{
if (n & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
n >>= 1;
}
return res;
}
int C(int n, int m) // 计算组合数，用到除法取模的逆
{
return (fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod) % mod;
}
int main()
{
int a, b, k, n, m, ans; cin >> a >> b >> k >> n >> m;
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n + m; i++)
{
fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod; // 预计算阶乘，要取模
inv[i] = fastPow(fac[i], mod - 2); // 用费马小定理预计算逆
}
ans = (fastPow(a, n) % mod * fastPow(b, m) % mod * C(k, n) % mod) % mod;
cout << ans << endl;
}
2. 容斥原理
简单形式
设 \(A\) 和 \(B\) 是分别具有性质 \(P_1\) 和 \(P_2\) 的有限集，则有
定义
集合 \(S\) 的子集 \(A_1\) 有性质 \(P_1\) ，\(A_2\) 有性质 \(P_2\)，\(\cdots\) ，\(A_n\) 有性质 \(P_n\) ，有以下两种定义：
- 集合 \(S\) 中不具有性质 \(P_1\) ，\(P_2\) ，\(\cdots\) ，\(P_n\) 的对象个数为
- 集合 \(S\) 中至少具有性质 \(P_1\) ，\(P_2\) , \(\cdots\) ，\(P_n\) 之一的对象个数为
3. 卢卡斯定理
适用于计算组合数取模，即求 \(C_n^r \;mod\; m\) ，其中 \(m\) 为素数
定理
对于非负整数 \(n、r\) 和素数 \(m\) ，有
或者写成
其中，\(n=n_k*m^k+\cdots+n_1*m+n_0*m^0\) 和 \(r=r_k*m^k+\cdots+r_1*m+r_0*m^0\) 是 \(n\) 和 \(r\) 的 \(m\) 进制展开
另一种表达：
P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态
#define int long long
const int N = 100010;
int fac[N]; // 预计算阶乘，取模
int fastPow(int a, int n, int mod)
{
int res = 1;
a %= mod;
while (n)
{
if (n & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
n >>= 1;
}
return res;
}
int inverse(int a, int m) // 用费马小定理计算逆
{
return fastPow(fac[a], m - 2, m);
}
int C(int n, int r, int m) // 用逆计算 C(n mod m, r mod m) mod m
{
if (r > n) return 0;
return ((fac[n] * inverse(r, m)) % m * inverse(n - r, m) % m);
}
int Lucas(int n, int r, int m) // 用递归计算 C(n, r) mod m
{
if (r == 0) return 1;
return C(n % m, r % m, m) * Lucas(n / m, r / m, m) % m; // 分两部分计算
}
signed main()
{
int T; cin >> T;
while (T--)
{
int a, b, m;
cin >> a >> b >> m;
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++)
fac[i] = (fac[i - 1] * i) % m; // 预计算阶乘，取模
cout << Lucas(a + b, a, m) << endl;
}
}
4. 鸽巢原理（抽屉原理）
第一抽屉原理
- 把多于 \(n\) 个的物体放到 \(n\) 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件
- 把多于 \(m*n+1(n不为0)\) 个的物体放到 \(n\) 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于 \((m+1)\) 的物体
- 把无数还多件物体放入 \(n\) 个抽屉，则至少有一个抽屉里有无数个物体
第二抽屉原理
把 \((m*n－1)\) 个物体放入 \(n\) 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有 \((m—1)\) 个物体 (例如，将 \(3×5-1=14\) 个物体放入 \(5\) 个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于 \(3-1=2\))
加强版
设 \(q_1,\;q_2,\; q_3,\; \cdots,\; q_n\) 为正整数，如果将 \(q_1+q_2+q_3+\cdots+q_n-n+1\) 个物体放入 \(n\) 个盒子，那么，或者第一个盒子至少含有 \(q_1\) 个物体，或者第二个盒子至少含有 \(q_2\) 个物体，\(\cdots\)，或者第 \(n\) 个盒子至少含有 \(q_n\) 个物体
Ramsey 定理
一个简单例子
在 \(6\) 个或更多人中，或者有 \(3\) 个人，他们中的每两个人都互相认识：或者有 \(3\) 个人，他们中的每两个人都彼此不认识
浙公网安备 33010602011771号