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Pattern 看到这一类条件的话有比较明确的处理手法。

Trick 一般是小小的精妙结论，没见过一般推不出来

Computation 比赛时的计算量是受限制的，这一类提示能够让我比较"经济"地进行计算。

经典条件刻画 / 处理手法

  • \(\angle ABC = 90°\)
    • 勾股定理
    • 斜率乘积为 \(-1\)（即叉积为零向量）
    • （二维）把 \(A,B,C\) 看作复平面的点，\(\Re \frac {B-A} {B-C} = 0\)（2019 AIME I #12）
  • \(a^n+b^n\)
    • Newton's Sums
  • \(a^2+b^2\)
    • 均值不等式
    • 柯西不等式
    • \((a+bi)(a-bi)\)
      • 接下来的处理进入 Complex Number 专题。
    • 几何意义
  • \(\binom {2n} n\)、\(\binom {2n} {n-1}\)、\(\binom {2n} {n+1}\)
    • 见下文 Combinatorics 专题。
  • \(\sin(n\theta)\)、\(\cos(n\theta)\)
    • De Moivre's Formula
    • Chebyshev 多项式

Geometry

  • 三角大杀器：Stewart's theorem
  • 需要大量运用勾股定理的题目，一般可以考虑设角度然后解三角方程来简化运算。（2019 AIME I #11）
  • 三角形外接圆半径考虑正弦定理。
  • 三角形面积
    • \(\frac 1 2 bh\)
    • \(\frac 1 2 ab \sin C\)
    • \(\sqrt{s (s-a) (s-b) (s-c)}\), where \(s = \frac 1 2 (a+b+c)\).

Trigonometry

  • \(\sin^2 \theta\)、\(\cos^2 \theta\) 都是 \(\cos 2\theta\) 的一次多项式。
  • \(\cos^n \theta\) 的展开
    • \(\cos^3 \theta = \frac {\cos 3 \theta + 3 \cos \theta} 4\)
    • 展开中只会包含和 \(n\) 同奇偶的 \(t\) 的 \(\cos t \theta\)。
    • 考场上的算法：令 \(z=e^{i\theta}\)，\(\cos^n \theta = (\frac {z + z^{-1}} 2)^n\)，展开之后配对。

Inequality

  • 二次函数
    • 凸性
      • 二阶差分大于 \(0\)
      • e.g. 对于任意二次函数 \(f\) 都有 \(|a-b| = \sqrt 2 \sqrt{f(a) + f(b) - 2 f(\frac {a+b} 2)}\)（奥数教程 第3讲二次函数 例7）。\(f(a) + f(b) - 2 f(\frac {a+b} 2)\) 的本质是 \((f(b) - f(\frac {a+b} 2)) - (f(\frac {a+b} 2) - f(a))\)，是一个二阶差分。
    • Pattern 根与系数的不等式
      • 韦达定理

Complex Number

  • \(a^2 + b^2 = (a - bi) (a + bi)\)，有的题目可能突然通过这样一步出现复数。
  • 复数相乘的几何意义：模长相乘，辐角相加。
  • 实系数多项式的复根以共轭复数成对出现。
    • 奇次实系数多项式必有实根。
  • \(|z| = 1\) 时
    • 有 \(z \bar{z} = 1\)，能乘在式子里的任何地方。
      • 例：\(f\) 是多项式，\(|f(z)|\) 的一种处理手法是在常数项上乘一个 \(z \bar{z}\)，这样可以提取出一个 \(|z|\)。
    • \(z = \cos\theta + i\sin\theta\)，这种换元经常搭配上面的 \(z \bar{z}\) 一起使用。
  • \(\Re (z^2) = c \Leftrightarrow (\Re z)^2 - (\Im z)^2 = c\)，\(\Im (z^2) = c \Leftrightarrow (\Re z) (\Im z) = \frac c 2\)，都是双曲线。
  • \(\prod\limits_{k=1}^{n} (z - \omega_n^k) = z^n - 1\)，反过来很简单，正过来容易想不到。
  • 夹角为 \(\frac {2\pi} n\) 的 \(n\) 个模为 \(1\) 的复数，和为 \(0\)。

Number Theory

  • 刻画整除关系，可以对每个质数设出 \(\nu_p\) 的不等式。（2024 AIME II #14）
  • Computation 枚举一个数 \(n\) 的分解 \(x \times y \times z\) 是可以接受的。A034836，其 1~1000 的数值。（2024 AMC 12A #6）
  • Pattern 看到 \(x^n - y^n\) 或者 \(x^n + y^n\)（尤其是 \(\frac {x^n - y^n} {x - y}\)）想到 LTE。
  • Trick 逆元换底公式（？）：\(\text{inv}(a,b) = b - \frac {b \times \text{inv}(b,a) - 1} a\)（2023 AIME II #15）
  • Pattern 与最简分数相关，并且有由 \(\frac a b\) 与 \(\frac c d\) 合成 \(\frac {a+c} {b+d}\) 的问题，考虑 Stern-Brocot Tree。（2025 PROMYS Problem Set #3）

Floor Function

  • Hermite 恒等式：\(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \left\lfloor x + \dfrac i n \right\rfloor = \lfloor nx\rfloor\)

Combinatorics

  • \(\binom {2n} n\) 型组合数的处理手法（Central binomial coefficient A000984）

Sequence

TODO:

Probability

Discrete

  • DP。

Continuous

  • 积分。积分。积分。

Symmetric Polynomial

  • Pattern 高次方和。
  • 凑 \(\sigma\)。
  • \(n\) 个数的 \(k\) 次方和 \(P_k\) 满足一个 \(n\) 阶常系数齐次线性递推，可以用数列中的办法处理。
  • \(P_3 - 3\sigma_3 = \sigma_1 (P_2 - \sigma_2)\) 即 \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 -ab - ac - bc)\)

Group Theory

  • 对于"是否有解"的置换问题，考虑置换奇偶性。（2025 SUMaC Problem Set #3）

Optimization

Construction

  • 要构造 \(A \cap B \ne \varnothing\)，考虑将 \(A\) 与 \(\bar{A}\) 配对。
posted @ 2025-05-24 15:54  August_Light  阅读(30)  评论(0)    收藏  举报