FRQ
画受力分析
⚠️作图时，遇到方向重叠的力，要画在靠近但是不同的作用点上。（Griffon）
实验设计
⚠️写出计算要用到的公式。
测速度可以用 Light Gate。
表格
⚠️表格必须写单位！
Best Fit Line
⚠️不可以用坐标轴上的小折线省略坐标系。一般来说，给的空间都是够的。
⚠️用尺。
⚠️推荐的画法是，直线上下点数对半分。
⚠️即使计算式子中这条直线可能应该是正比例函数，但是 best fit line 不用必须从原点开始画。
抛体运动的轨迹方程
关于 \(t\) 的参数方程：
\[\begin{cases}
x(t) = v_0 \cos \theta \times t \\
y(t) = v_0 \sin \theta \times t - \frac 1 2 g t^2 \\
\end{cases}\]
结论：相同 \(v_0\) 下，\(\theta\) 与 \(90 \degree - \theta\) 作为仰角发射出去会落到同一点。
\(y\) 关于 \(x\) 的纯粹抛物线：
\[\boxed{y(x) = - \frac g {2v_0^2} \sec^2 \theta \times x^2+ \tan \theta \times x}
\]
弹簧的串联和并联
串联
\[\boxed{k_{\text{total}} = \frac 1 {\sum \frac 1 {k_i}}}
\]
并联
\[\boxed{k_{\text{total}} = \sum k_i}
\]
圆形轨道的引力势能与动能
\[\boxed{U = -2KE}
\]
\[\boxed{E_{\text{mech}} = -KE}
\]
推导：
用离心力 \(F = m \frac {v^2} r\) 列牛顿第二定律公式，
\[\begin{aligned}
G \frac {m M} {r^2} &= m \frac {v^2} r \\
- \frac {GmM} r &= - m v^2 \\
U &= -2 KE \\
\end{aligned}\]
行星机械能与轨道形状的关系
星体 \(E_{\text{mech}} < 0\) 是圆或椭圆（即真正意义上的行星），\(=0\) 是抛物线，\(>0\) 是双曲线。
简谐运动
小角度单摆与弹簧振子的周期
小角度单摆
\[\theta'' + \frac g l \theta = 0
\]
\[\omega = \sqrt {\frac g l}, T = 2 \pi \sqrt {\frac l g}
\]
弹簧振子
\[x'' + \frac k m x = 0
\]
\[\omega = \sqrt {\frac k m}, T = 2 \pi \sqrt {\frac m k}
\]
小角度扭转
\[\theta'' + \frac \kappa I \theta = 0
\]
\[\omega = \sqrt {\frac \kappa I}, T = 2 \pi \sqrt {\frac I \kappa}
\]
就是转动上的弹簧而已。\(\kappa\) 叫做 Torsion Constant。
竖直弹簧
平衡位置比原长低：
\[\boxed{x_0 = \frac {mg} k}
\]
（来源是 \(kx_0 = mg\)）
带边界条件的简谐运动
\[\boxed{x = x_0 \cos(\omega t) + \frac {v_0} \omega \sin(\omega t)}
\]
质心
（下文推导不考虑内力，因为根据牛三内力会抵消）
\[\begin{aligned}
\vec{F}_{\text{tot}} &= \sum \vec{F} = \sum m \vec{a} \\
\frac {\vec{F}_{\text{tot}}} {m_{\text{tot}}} &= \frac {\sum m \vec{a}} {\sum m} \\
\end{aligned}\]
不妨记 \(\vec{a}_{\text{tot}} = \frac {\vec{F}_{\text{tot}}} {m_{\text{tot}}}\)，则有 \(\vec{a}_{\text{tot}} = \frac {\sum m \vec{a}} {\sum m}\)，两边对时间积分一次和两次得到
\[\vec{v}_{\text{tot}} = \frac {\sum m \vec{v}} {\sum m}
\]
\[\vec{r}_{\text{tot}} = \frac {\sum m \vec{r}} {\sum m}
\]
\[\vec{v}_{\text{tot}} = \frac {\sum m \vec{v}} {\sum m}
\]
这个式子把 \(\sum m\) 乘回去，就得到
\[\vec{p}_{\text{tot}} = \sum m \vec{v} = \sum \vec{p}
\]
弹性碰撞
\(p\) 守恒，\(KE\) 守恒：
\[\begin{cases}
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \\
\frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 = \frac 1 2 m_1 v_1'^2 + \frac 1 2 m_2 v_2'^2 \\
\end{cases}\]
一个简单的处理手法是，把所有 \(m_1\) 扔一边，所有 \(m_2\) 扔一边。
\[\begin{cases}
m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_2' - v_2) \\
m_1 (v_1 - v_1') (v_1 + v_1') = m_2 (v_2' - v_2) (v_2' + v_2) \\
\end{cases}\]
可得：
\[v_1 + v_1' = v_2' + v_2
\]
即：
\[v_1 - v_2 = v_2' - v_1'
\]
碰撞前后的相对速度反一下。
然后解二元一次方程组，会方便很多，结果是：
\[\begin{cases}
v_1' = \frac {(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2} {m_1 + m_2} \\
v_2' = \frac {(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1} {m_1 + m_2} \\
\end{cases}\]
如何记忆呢？
首先 \(v_1' = \frac 1 {m_1 + m_2} ((m_1 - m_2) v_1 + 2m_2 v_2)\)，然后把 \(1\) 和 \(2\) 全部对调就得到了 \(v_2'\)。
或者矩阵也不错：
\[\begin{bmatrix}
v_1' \\ v_2' \\
\end{bmatrix}
=
\frac 1 {m_1 + m_2}
\begin{bmatrix}
m_1 - m_2 & 2m_2 \\
2m_1 & m_2 - m_1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
\end{bmatrix}\]
特别情况之 \(v_2 = 0\)
\[\begin{cases}
v_1' = \frac {m_1 - m_2} {m_1 + m_2} v_1 \\
v_2' = \frac {2 m_1} {m_1 + m_2} v_1 \\
\end{cases}\]
值得注意的是，\(v_1'\) 不知正负，但是 \(v_2'\) 永远为正。
特别情况之 \(m_1 = m_2\)
\[\begin{cases}
v_1' = v_2 \\
v_2' = v_1 \\
\end{cases}\]
即两物体交换速度。
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