二阶常系数齐次微分方程

定义算子 \(D\)，它接受一个函数并返回其关于 \(x\) 的导函数：

\[D f(x) = \frac d {dx} f(x) \]

前置知识：一阶微分方程

一阶常系数齐次微分方程

\[\begin{aligned} \frac {dy} {dx} - ay &= 0 \\ y &= C e^{ax} \\ \end{aligned}\]

完全体

\[\begin{aligned} \frac {dy} {dx} + p(x)y &= q(x) \\ e^{\int p(x) dx} \frac {dy} {dx} + e^{\int p(x) dx} p(x) y &= q(x) e^{\int p(x) dx} \\ e^{\int p(x) dx} \frac {dy} {dx} + y \frac d {dx} (e^{\int p(x) dx}) &= q(x) e^{\int p(x) dx} \\ \frac d {dx} (e^{\int p(x) dx} \times y) &= q(x) e^{\int p(x) dx} \\ y &= e^{-\int p(x) dx} \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx \\ \end{aligned}\]

构造 \(e^{\int p(x) dx}\) 非常人类智慧！

（感觉这个结构看着像相似变换？）

D operator method：一阶常系数微分方程

对于齐次的情况，我们可以重写为：

\[\begin{aligned} (D - a) y &= 0 \\ y &= (D - a)^{-1} 0 = C e^{ax} \\ \end{aligned}\]

对于非齐次的情况，代入上面的完全体公式：

\[\begin{aligned} (D - a) y &= f(x) \\ y &= (D - a)^{-1} f(x) = e^{ax} \int e^{-ax} f(x) dx \\ \end{aligned}\]

Properties of D operator

令 \(p_1,p_2\) 是两个多项式，\(p_1 \times p_2\) 是它们的乘积，有：

\[p_1(D) \times p_2(D) = (p_1 \times p_2)(D) = (p_2 \times p_1)(D) \]

D operator method：二阶常系数齐次微分方程

\(\lambda_{1,2}\) 是 \(x^2 + ax + b = 0\) 的根。

\[\begin{aligned} y'' + a y' + b &= 0 \\ (D^2 + a D + b) y &= 0 \\ y &= (D^2 + a D + b)^{-1} 0 \\ y &= (D - \lambda_2)^{-1} (D - \lambda_1)^{-1} 0 \\ y &= (D - \lambda_2)^{-1} e^{\lambda_1 x} C_1 \\ y &= C_1 \frac {e^{\lambda_1 x}} {\lambda_1 - \lambda_2} + C_2 e^{\lambda_2 x} \\ y &= \boxed{C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}} \\ \end{aligned}\]

当 \(\lambda_{1,2}\) 均为实数且不相等时，这个方法看起来很好。

Special Case: \(\lambda_1 = \lambda_2\)

令 \(\lambda = \lambda_1 = \lambda_2\)。

\[\begin{aligned} y &= (D - \lambda)^{-1} (D - \lambda)^{-1} 0 \\ y &= (D - \lambda)^{-1} e^{\lambda x} C_1 \\ y &= \boxed{a^{\lambda x} (C_1 x + C_2)} \\ \end{aligned}\]

Special Case: \(\lambda_{1,2} \not \in \mathbb R\)

令 \(\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i\)。

最后的解为 \(y = e^{\alpha x} (C_1 e^{i \beta x} + C_2 e^{-i \beta x})\)（\(C_{1,2} \in \mathbb C\)），我们要找到恒属于实数的解。

\[\begin{aligned} y &= e^{\alpha x} (C_1 e^{i \beta x} + C_2 e^{-i \beta x}) \\ \text{Im } y &= \text{Re } C_1 \sin(\beta x) + \text{Im } C_1 \cos(\beta x) - \text{Re} C_2 \sin(\beta x) + \text{Im } C_2 \cos(\beta x) \\ &= (\text{Re } C_1 - \text{Re} C_2) \sin(\beta x) + (\text{Im } C_1 + \text{Im } C_2) \cos(\beta x) \\ &\equiv 0 \\ \end{aligned}\]

根据辅助角公式，只能 \(C_{1,2}\) 为共轭复数，设为 \(a \pm bi\)。

\[\begin{aligned} y &= e^{\alpha x} ((a + bi) e^{i \beta x} + (a - bi) e^{-i \beta x}) \\ &= e^{\alpha x} (a (e^{i \beta x} + e^{-i \beta x}) + bi (e^{i \beta x} - e^{-i \beta x})) \\ &= e^{\alpha x} (a \times 2 \cos(\beta x) + bi \times 2i \sin(\beta x)) \\ &= \boxed{e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))} \end{aligned}\]

（最后一步重新设了 \(C_{1,2} \in \mathbb R\)）