OI 中的等价无穷大方程

定义

\[\lim\limits_{x \to \infty} \frac {A(x)} {B(x)} = 1 \iff A(x) \sim B(x) \]

下文中无歧义的情况下，\(\lim\) 代表 \(\lim\limits_{x \to \infty}\)，函数省略 \((x)\)。

性质

\(A \sim B\) 两边可以同时乘除等价的函数。

\(A \sim B\) 两边可以同时求幂。

\[\begin{aligned} & \lim \frac {A'} {B'} \\ =& \lim \frac A B & \text{L'Hôpital's Rule} \\ =& 1 \end{aligned}\]

在可以洛的前提下，\(A \sim B\) 两边可以同时求导。

\[\begin{aligned} & \lim \frac {\ln A} {\ln B} \\ =& \lim \frac {A'/A} {B'/B} & \text{L'Hôpital's Rule}\\ =& 1 \end{aligned}\]

在可以洛的前提下，\(A \sim B\) 两边可以同时求对数。

例题

例 1：莫队

\[\begin{aligned} B &\sim \frac n B \\ B^2 &\sim n \\ B &\sim \sqrt n \\ \end{aligned}\]

例 2：P2801 教主的魔法

令分块块长为 \(B\)，则复杂度最优化则是要解以下方程：

\[\begin{aligned} B &\sim \frac {n \ln B} B \\ \frac {B^2} {\ln B} &\sim n \\ 2 \ln B - \ln \ln B &\sim \ln n & \text{两边同时} \ln \\ 2 \ln B &\sim \ln n & \text{忽略低阶无穷大}\\ n \ln B &\sim \frac {n \ln n} 2 \\ B^2 &\sim \frac {n \ln n} 2 & \text{与原式传递} \\ B &\sim \frac {\sqrt 2} 2 \sqrt{n \ln n} \\ \end{aligned}\]

例 3

\[\begin{aligned} B \ln B &\sim n \\ \ln B + \ln \ln B &\sim \ln n \\ \ln B &\sim \ln n \\ B \ln B &\sim B \ln n \\ B \ln n &\sim n \\ B &\sim \frac n {\ln n} \\ \end{aligned}\]