Contest7519 - 虚树计算

Contest

A 消耗战（弱化版）

题意：只有一组询问的消耗战（B 题）。

这个题跟虚树没有半点关系。只是为 B 题做准备。

令 \(f_u\) 为切断 \(u\) 与其子树内所有关键点的最小代价（不需要考虑 \(u\) 是关键点的情况）。答案为 \(f_1\)。

令 \(mi_u\) 为 \(1 \rightsquigarrow u\) 的最小边权（特别地，\(mi_1 = \infty\)）。一遍 DFS 预处理。

枚举 \(u\) 的儿子 \(v\)：

• 若 \(v\) 是关键点，则 \(ans \gets ans + mi_v\)。
• 若 \(v\) 不是关键点，则 \(ans \gets ans + f_v\)。

还有一种可能：直接切 \(mi_u\) 会更好。所以答案为 \(\min(ans, mi_u)\)。

时间复杂度 \(\Theta(n)\)。

B 消耗战

P2495 [SDOI2011] 消耗战

虚树是什么

给定树上的若干个关键点 \(S\)。往 \(S\) 添加最少的点，使得 \(S\) 对 LCA 运算封闭。

把新的点集叫做 \(S'\)。如果把 \(S'\) 中的点按照原树的祖先后代关系连边，则可以形成一棵小树。这棵树被称为 \(S\) 对应的虚树。

可以证明，\(|S| \le |S'| \le 2 |S| - 1\)，即 \(|S'| = \Theta(|S|)\)。

因此 \(\sum |S'| = \Theta(\sum |S|)\)。在类似本题（限制关键点数目之和）的题目当中，保证了时间复杂度。

虚树的构造方法

虚树的构造方法有两种：单调栈和二次排序。其中单调栈用的似乎比较多。但是二次排序好写好背，所以下文介绍二次排序。

1. 预处理 \(dfn\) 和 LCA。
2. 把 \(S\) 按 \(dfn\) 排序。
3. 枚举 \(S\) 的每对相邻点对（\(S_{i-1}\) 和 \(S_i\)），将 \(\text{LCA}(S_{i-1}, S_i)\) 加入 \(S'\)。当然 \(S\) 中的所有元素也要加入。
4. 把 \(S'\) 按 \(dfn\) 排序，并去重。此时 \(S'\) 已经构造完毕。
5. 新建一个空图 \(g\)。枚举 \(S'\) 的每对相邻点对（\(S'_{i-1}\) 和 \(S'_i\)），在 \(g\) 上连边 \(\text{LCA}(S'_{i-1}, S'_i) \rightarrow S'_i\)。虚树即为 \(g\)。

时间复杂度 \(O(|S| \log |S|)\)。

（备注：单调栈做法的好处在于，在点集已经排序的情况下，借助 \(O(1)\) 查询的 LCA 可以做到 \(\Theta(|S|)\) 构造虚树）

虚树的构造：正确性

Part 1：为什么这样构造的 \(S'\) 对 LCA 封闭

• 引理 1 \(\text{LCA}(S_{i-1}, S_{i+1}) \in \{\text{LCA}(S_{i-1}, S_i), \text{LCA}(S_i, S_{i+1})\}\)。

证明：\(\text{LCA}(S_{i-1}, S_i)\) 和 \(\text{LCA}(S_i, S_{i+1})\) 是祖先后代关系，因为它们都是 \(S_2\) 的祖先。那么他俩中 dep 小的那个就是 \(\text{LCA}(S_{i-1}, S_{i+1})\)。\(\square\)

• 引理 2 \(\text{LCA}(S_i, S_j) \in \{\text{LCA}(S_{k-1}, S_k) \mid i < k \le j\}\)。即 \(\text{LCA}(S_i, S_j) \in S'\)。

证明：用引理 1 数学归纳法即可。\(\square\)

• 引理 3 \(\operatorname{LCA}\limits_{u \in T} u\) 为 \(T\) 中 \(dfn\) 最小和最大两个点的 LCA。

（这个好像是个常用结论，但是我不会）

证明：先证明这个点确实是所有点的 CA，然后证明它是 LCA。

设 \(dfn\) 最小和最大的点为 \(a,b\)。

反证：设 \(dfn_a < dfn_c < dfn_b\)，且 \(\text{LCA}(a,b)\) 不是 \(c\) 的祖先。根据 \(dfn\) 的性质，\(c\) 不在 \(\text{LCA}(a,b)\) 的子树内，因此 \(dfn_c < dfn_a\) 或 \(dfn_c > dfn_b\)。矛盾。因此这个点确实是所有点的 CA。

如果这个点不是 LCA（即还有点比它更深），那么和它是 \(\text{LCA}(a,b)\) 这一点矛盾。

\(\square\)

• 定理 \(S'\) 对 \(\text{LCA}\) 封闭。

证明：对于 \(S'\) 中任意两个元素，他们的 LCA 必定是 \(S\) 的一个子集的 LCA。通过引理 3 可以转化为 \(S\) 的一个点对的 LCA，通过引理 2 可知必定在 \(S'\) 中。\(\square\)

Part 2：为什么对 \(S'\) 这样连边是正确的

根据 \(S'\) 对 \(\text{LCA}\) 的封闭性，\(\text{LCA}(S'_{i-1}, S'_i)\) 是 \(S'\) 中的元素，且确实是 \(S_i'\) 的祖先。

因为 \(S'_{i-1}\) 与 \(S'_i\) 按 \(dfn\) 排序后是连续的，所以 \(\text{LCA}(S'_{i-1}, S'_i) \rightsquigarrow S'_i\) 之间没别的 \(S'\) 中的点了，确实就是 \(\text{LCA}(S'_{i-1}, S'_i)\) 应该连 \(S'_i\)。

虚树的构造：代码

T 即为上文的 \(S'\)。

vector<int> g[MAXN];
vector<int> build_virtual_tree(vector<int> S) {
    sort(S.begin(), S.end(), [&](int u, int v) {
        return dfn[u] < dfn[v];
    });
    vector<int> T;
    T.push_back(S[0]);
    for (int i = 1; i < S.size(); i++) {
        T.push_back(LCA(S[i-1], S[i]));
        T.push_back(S[i]);
    }
    sort(T.begin(), T.end(), [&](int u, int v) {
        return dfn[u] < dfn[v];
    });
    T.erase(unique(T.begin(), T.end()), T.end());
    for (int i = 1; i < T.size(); i++) {
        int u = LCA(T[i-1], T[i]), v = T[i];
        g[u].push_back(v);
    }
    return T;
}

虚树的小结论

\(S = \{S_0, S_1, \cdots, S_{m-1}\}\)（按 \(dfn\) 排序）的虚树边权和为：

\[\frac 1 2 \sum\limits_{i=0}^{m-1} \text{dis}(S_i, S_{(i+1) \bmod m}) \]

例题：P3320 [SDOI2015] 寻宝游戏 能看出 SDOI 挺喜欢虚树的

C 世界树

P3233 [HNOI2014] 世界树

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